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DM Dérivation locale
Bonjour,
Je pense avoir besoin d'aide pour un devoir. Je l'ai commencé mais les résultats que je trouve ne me convainquent pas.
Voici l'exercice :
On considère la fonction g définie pour tout réel x positif par g(x)=6
x + 6, ainsi que les points A(-4;6) et B(2;15).
Montrer que la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 4.
J'ai commencé à calculer g(4)=18 et g(4+h)=6+64+h pour calculer le taux de variation de g entre 4+h et 4 où je trouve -12+64+h.
J'ai ensuite fait h -> 0 mais j'ai trouvé -12+64+h -> 0
Je voulais ensuite calculer la droite d'équation T.
Bonsoir, le plus simple c'est de trouver l'équation de la tangente au point x=4
(par y = g'(4)(x-4)+g(4) ) puis de montrer que les points A et B sont bien sur cette droite.
il faut l'équation de (AB) et vérifier que le point de la courbe d'abscisse 4 appartient à la droite
Ah je crois avoir fait une erreur de calcul...
Normalement je les ai vues mais j'ai un peu de mal avec ce chapitre.
Si je remplace par 6(4+h -2) la fonction va tendre vers 12
et je peux obtenir la droite d'équation y=12*(x-12)+18 = 12x -126 ?
non avec la quantité conjuguée tu devrais aboutir à 6 / ((4+h) +2) qui tend vers 3/2 donc g'(4)=3/2
(que tu peux aussi vérifier directement en dérivant g(x))
la quantité conjugué de ((4+h) - 2) c'est ((4+h) +2)
l'intérêt c'est que si on multiplie haut et bas ((4+h) -2) par cette quantité conjuguée, on crée au numérateur un (a+b)(a-b) donc a²-b² qui fait sauter la racine. il reste 4+h - 4 = h au numérateur qu'on s'empresse de simplifier avec le dénominateur et la limite n'est plus indéterminée.
c'est exactement le calcul que t'a fait hekla à 18:42.
Lorsque vous faites tendre h vers 0 le numérateur et le dénominateur tendent aussi vers 0 donc on ne peut conclure directement. Il va donc falloir trouver une autre écriture. Ce qui est gênant est la racine carrée. On pourrait élever au carré mais on n'est guère avancé à cause du double produit. On sait que .
On sait aussi que Voilà donc le moyen de se débarrasser de la racine carrée.
On a on va donc multiplier par 1 sous forme de
. Ainsi on gardera bien l'expression de départ
On va donc prendre qu'on appelle la quantité conjuguée
de la quantité conjuguée sera
.
On pourra alors écrire
Merci pour ces explications 
Donc après avoir obtenu g'(4) = 3/2 , je peux écrire l'équation réduite y=3/2*(x-4)+18
Ainsi, on peut déterminer si la droite (AB) est tangente à la courbe car un point appartient à la tangente si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation réduite :
Pour le point A : (3/2)*(-4-4)+18 = 6 donc le point appartient à la tangente.
Pour le point B : (3/2)*(2-4)+18 = 15 donc le point appartient à la tangente.
Donc, la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 4.
C'est correct ?
Salut,
Il est préférable de simplifier d'abord l'équation de la tangente : y=3/2*(x-4)+18 sous la forme "y = ax+b"
Vous avez écrit l'équation de la tangente au point d'abscisse 4 puis que les points A et B appartiennent à cette droite On peut donc bien dire que (AB) est la tangente au point d'abscisse 4 à la courbe.
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