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DM, difficulté sur un exercice

Posté par
Heriala
08-11-14 à 12:00

Bonjour à tous,

Je rencontre une diffulté avec mon DM à rendre pour Vendredi 14 Novembre.

Voilà l'énoncé :
Avec un bout de ficelle
Une ficelle, longue de 89 cm, est fixée à ses extrémités par deux clous A et B distants de 65 cm.

1) Déterminer si il est possible de tendre la ficelle de façon à obtenir un triangle rectangle.
Réaliser une figure schématisant ce problème.
2) Est-ce réalisable si la ficelle mesure 93cm?
3) Quelle longueur la ficelle ne doit-elle pas dépasser pour pouvoir réaliser cette construction?

Je suis bloquée sur la question 1.
J'ai commencé par faire différents dessins de la situation, et je suis partie sur un cercle inscrit, donc j'ai calculé son périmètre qui est de 65/2. Mais après tout ça, je me suis rendue compte que finalement le cercle inscrit est une mauvaise idée puisque l'énoncé ne nous l'indique pas et en partant de ça on affirme qu'il l'est alors qu'on en a aucune idée..

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 12:08

Appelle x et y les longueurs des deux brins de la ficelle. tu as x + y = 89 et x²+y²=65² à résoudre.

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 12:28

Je suis d'accord pour ce que tu as dis mais après ça nous amène à quoi?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 12:32

A deux équations à deux inconnues qui vont te donner x et y quand tu l'auras résolue.
(s'il y a des solutions c'est que c'est possible et sinon, non)

(astuce : utilise x²+y²=(x+y)²-2xy donc xy = ((x+y)²-(x²+y²))/2 tu seras ramener à calculer deux nombres connaissant leur produit P et leur somme S donc à résoudre X²-SX+P=0 il y a des solutions si S²-4P 0)

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 12:38

J'ai fais comme tu m'as dis x2+ y2= x2+2xy + y2
mais après je ne comprends pas comment tu aboutis à  xy = ((x+y)²-(x²+y²))/2

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 15:15

j'ai juste passé les x²+y² de l'autre coté et divisé par 2

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 15:22

Et une fois que tu fais ça on fait quoi ? tu parles de calculer deux nombres mais je comprends pas trop là..

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 15:50

une fois que tu as xy = ((x+y)²-(x²+y²))/2 =(89²-65²)/2 = 1848
tu es ramené à trouver deux nombres x et y connaissant leur produit xy = 1848 et leur somme x+y = 89
ce qui est un problème connu, c'est résoudre X²-SX+P=0 donc X²-89X+1848 = 0

Posté par
gryd77
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 15:51

Citation :
J'ai fais comme tu m'as dis x²+ y²= x²+2xy + y²
Non, Glapion n'a pas du tout dit ça !

Si tu préfères, tu peux résoudre le système proposé par Glapion à 12h08
Citation :
Appelle x et y les longueurs des deux brins de la ficelle. tu as x + y = 89 et x²+y²=65² à résoudre.

en écrivant par exemple (mais l'approche est moins élégante)
y=89-x
et
x² + (89-x)² -65² = 0
Si tu as des solutions (acceptables c'est-à-dire positives), ce sont les possibilités (symétriques) des 2 longueurs de brins dont la somme fait 89 cm
Réessaye avec 93 à la place de 89, puis avec m au lieu de 89 et cherche pour quelle valeurs de m il y a une solution unique... ou pas de solution...

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 16:07

Je ne comprends plus rien du tout là.

Si il a bien dis ça, dans le message à 12h32, dans l'astuce !
Dans ce que tu dis x² + (89-x)² -65² = 0
Je ne comprends pas ce que fais le ici -652.

Glapion, je comprends ça : ((x+y)²-(x²+y²))/2 =(89²-65²)/2 = 1848

Mais en fait ce que je ne comprends pas c'est quand on fait x2+2xy + y2, on les met ou 89 et 65 ?

Car j'ai noté ça moi pour le moment :

x + y = 89
x²+y²= 65²

x+y²=x2+2xy + y2
xy= (x²+y²)-(x²+y²)/2

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 16:11

Bon si tu ne comprends pas l'astuce, n'insistons pas, suis la voie plus simple de gryd77, tu tires de la première équation y=89-x et tu remplaces dans la seconde. ce qui donne x² + (89-x)² = 65² comme il te l'a indiqué.
tu développes, tu résous l'équation du second degré, etc...

Posté par
pseudodk
REP 08-11-14 à 17:20

l'égalité x+y²=x2+2xy + y2  est fausse.

Si tu résous l'équation que l'on t'a proposée tu trouves 33 et 56 comme solutions.

REMARQUE
Si l'on considère le système des deux équations: x+y=89 et x²+y²=65² qui est proposé , on constate que 65 est systématiquement pris comme étant le plus grand côté du triangle; cela n'est pourtant pas précisé dans l'énoncé.

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 17:26

La voie plus simple je ne la comprends pas non plus, j'ai tout mélangé puisque l'on m'a donné trop de choses différentes.

Quelqu'un pourrait reprendre avec moi du début ?

Oui c'est faux, c'est ça que je voulais dire : (x+y)²=x2+2xy + y2
J'avais oublié ma parenthèse.

Posté par
gryd77
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 17:47

D'abord, premier message de Glapion : Pythagore
Puis deuxième partie de mon message de 15h51 (voir Glapion 16h11)

et c'est fini.

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 17:58

J'ai donc commencé par écrire cela :

Soit x et y deux longueurs du brin de ficelle.
x+y=89
y=89-x
x2+y2=652
x2+(89-x)2=652
x2+(89-x)2-652=0

Ensuite je développe (89-x2) avec a2-2ab + b2??

Mais pourtant quelqu'un a dit cela :
REMARQUE
Si l'on considère le système des deux équations: x+y=89 et x²+y²=65² qui est proposé , on constate que 65 est systématiquement pris comme étant le plus grand côté du triangle; cela n'est pourtant pas précisé dans l'énoncé.

Donc on ne peut pas partir de ce que je fais alors ?

Posté par
gryd77
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 18:31

Pour l'instant, continue. On pourra discuter du "plus grand côté" après. C'est bien sûr vrai, mais c'est un autre problème, qui est trivial.
Développe, résout, ...

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 18:42

Je comprends pas comment développer là.
x2+(89-x)2-652=0
(89-x)2 : 89 n'a pas de résultat entier, je vois pas trop comment faire là

Posté par
gryd77
re : DM, difficulté sur un exercice 08-11-14 à 23:53

1)
...
On cherche pour quelles valeurs de x on a :  x² + (89-x)² -65² = 0

x² + (89-x)² -65² = x² + (89² - 289x + x²) - 65²
= 2x² -178x + 3696
On peut même simplifier par 2 et chercher les racines de :
x² - 89x + 1848 = 0

Calcul de ...Si 0 ==> x1= ?? et x2= ?? ==> Les brins font respectivement x1 et x2 cm

2)
Maintenant, on essaie avec une ficelle de 93 cm
On cherche les racines, si elles existent de :
x² + (93-x)² -65² = 0

Donc, on développe, on calcule ...

3)
Enfin, on dit que la ficelle fait L cm
On cherche les racines possibles de :
x² + (L-x)² -65² = 0

= une expression avec L, mais il faut 0
d'où une condition sur L


Complément:
Soit C le 3ème point du triangle.
Tout ce qui précède suppose que le triangle ABC est rectangle en C et que AB est l'hypoténuse (le plus grand côté)
Si on accepte les triangles rectangles en A (hypoténuse BC) ou symétriquement en B (hypoténuse AC) c'est-à-dire, si AB est horizontal, C sur la verticale passant par A ou celle passant par B, il faut et il suffit que la ficelle fasse plus de 65cm pour avoir un triangle rectangle.

Dans ce cas, pour une ficelle de 89cm, si x et y sont les longueurs des brins :

x et 65 sont les longueurs des côtés de l'angle droit
y = 89-x est la longueur de l'hypoténuse

x+y=89
65²+x²=y²

D'où le résolution de :
x² - (89-x)² + 65² = 0     178x = 89²-65²
beaucoup moins fatigant, mais sans doute pas ce que ton prof attend.

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 09-11-14 à 12:36

Merci beaucoup pour toutes ces explications !

J'ai terminé la question 1 et 2.

Pour la 3, après le développement j'ai trouvé
2x2-2Lx+(L2-4225)=0

Avec ça me donne :
b2-4ac
2L2-8*(L2-4225)

Et après je ne sais pas trop comment continuer pour trouver la longueur maximale de la ficelle pour que la construction reste réalisable.
J'ai pensé au début à dire que L2doit être égal à 4225 mais je ne pense pas que cela soit correct.

Posté par
gryd77
re : DM, difficulté sur un exercice 09-11-14 à 13:07

Sauf erreur de ma part  b=2L  => b²=4L²...

donc = 4L² - 8L² + 84225 = 33800 - 4L²

Et il faut 0  (et bien sûr L>0)

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 09-11-14 à 14:30

Ah oui, faute d'inattention.. merci

A partir de 33800 - 4L2j'ai fais cela :

L = 33800/4=652

La longueur que ne doit pas passer est donc de 652, ce qui donne environ 92cm

Posté par
gryd77
re : DM, difficulté sur un exercice 09-11-14 à 14:50

Et j'espère que c'est cohérent avec tes réponses précédentes.
Bon dimanche

Posté par
Heriala
re : DM, difficulté sur un exercice 09-11-14 à 15:14

Oui c'est cohérent puisqu'avec 89 on pouvait mais pas avec 93.
Merci beaucoup de m'avoir aidé, et si rapidement. Bon dimanche également



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