Bonjour à tous,
Je rencontre une diffulté avec mon DM à rendre pour Vendredi 14 Novembre.
Voilà l'énoncé :
Avec un bout de ficelle
Une ficelle, longue de 89 cm, est fixée à ses extrémités par deux clous A et B distants de 65 cm.
1) Déterminer si il est possible de tendre la ficelle de façon à obtenir un triangle rectangle.
Réaliser une figure schématisant ce problème.
2) Est-ce réalisable si la ficelle mesure 93cm?
3) Quelle longueur la ficelle ne doit-elle pas dépasser pour pouvoir réaliser cette construction?
Je suis bloquée sur la question 1.
J'ai commencé par faire différents dessins de la situation, et je suis partie sur un cercle inscrit, donc j'ai calculé son périmètre qui est de 65/2. Mais après tout ça, je me suis rendue compte que finalement le cercle inscrit est une mauvaise idée puisque l'énoncé ne nous l'indique pas et en partant de ça on affirme qu'il l'est alors qu'on en a aucune idée..
Appelle x et y les longueurs des deux brins de la ficelle. tu as x + y = 89 et x²+y²=65² à résoudre.
A deux équations à deux inconnues qui vont te donner x et y quand tu l'auras résolue.
(s'il y a des solutions c'est que c'est possible et sinon, non)
(astuce : utilise x²+y²=(x+y)²-2xy donc xy = ((x+y)²-(x²+y²))/2 tu seras ramener à calculer deux nombres connaissant leur produit P et leur somme S donc à résoudre X²-SX+P=0 il y a des solutions si S²-4P 0)
J'ai fais comme tu m'as dis x2+ y2= x2+2xy + y2
mais après je ne comprends pas comment tu aboutis à xy = ((x+y)²-(x²+y²))/2
Et une fois que tu fais ça on fait quoi ? tu parles de calculer deux nombres mais je comprends pas trop là..
une fois que tu as xy = ((x+y)²-(x²+y²))/2 =(89²-65²)/2 = 1848
tu es ramené à trouver deux nombres x et y connaissant leur produit xy = 1848 et leur somme x+y = 89
ce qui est un problème connu, c'est résoudre X²-SX+P=0 donc X²-89X+1848 = 0
Je ne comprends plus rien du tout là.
Si il a bien dis ça, dans le message à 12h32, dans l'astuce !
Dans ce que tu dis x² + (89-x)² -65² = 0
Je ne comprends pas ce que fais le ici -652.
Glapion, je comprends ça : ((x+y)²-(x²+y²))/2 =(89²-65²)/2 = 1848
Mais en fait ce que je ne comprends pas c'est quand on fait x2+2xy + y2, on les met ou 89 et 65 ?
Car j'ai noté ça moi pour le moment :
x + y = 89
x²+y²= 65²
x+y²=x2+2xy + y2
xy= (x²+y²)-(x²+y²)/2
Bon si tu ne comprends pas l'astuce, n'insistons pas, suis la voie plus simple de gryd77, tu tires de la première équation y=89-x et tu remplaces dans la seconde. ce qui donne x² + (89-x)² = 65² comme il te l'a indiqué.
tu développes, tu résous l'équation du second degré, etc...
l'égalité x+y²=x2+2xy + y2 est fausse.
Si tu résous l'équation que l'on t'a proposée tu trouves 33 et 56 comme solutions.
REMARQUE
Si l'on considère le système des deux équations: x+y=89 et x²+y²=65² qui est proposé , on constate que 65 est systématiquement pris comme étant le plus grand côté du triangle; cela n'est pourtant pas précisé dans l'énoncé.
La voie plus simple je ne la comprends pas non plus, j'ai tout mélangé puisque l'on m'a donné trop de choses différentes.
Quelqu'un pourrait reprendre avec moi du début ?
Oui c'est faux, c'est ça que je voulais dire : (x+y)²=x2+2xy + y2
J'avais oublié ma parenthèse.
D'abord, premier message de Glapion : Pythagore
Puis deuxième partie de mon message de 15h51 (voir Glapion 16h11)
et c'est fini.
J'ai donc commencé par écrire cela :
Soit x et y deux longueurs du brin de ficelle.
x+y=89
y=89-x
x2+y2=652
x2+(89-x)2=652
x2+(89-x)2-652=0
Ensuite je développe (89-x2) avec a2-2ab + b2??
Mais pourtant quelqu'un a dit cela :
REMARQUE
Si l'on considère le système des deux équations: x+y=89 et x²+y²=65² qui est proposé , on constate que 65 est systématiquement pris comme étant le plus grand côté du triangle; cela n'est pourtant pas précisé dans l'énoncé.
Donc on ne peut pas partir de ce que je fais alors ?
Pour l'instant, continue. On pourra discuter du "plus grand côté" après. C'est bien sûr vrai, mais c'est un autre problème, qui est trivial.
Développe, résout, ...
Je comprends pas comment développer là.
x2+(89-x)2-652=0
(89-x)2 : 89 n'a pas de résultat entier, je vois pas trop comment faire là
1)
...
On cherche pour quelles valeurs de x on a : x² + (89-x)² -65² = 0
x² + (89-x)² -65² = x² + (89² - 289
x + x²) - 65²
= 2x² -178x + 3696
On peut même simplifier par 2 et chercher les racines de :
x² - 89x + 1848 = 0
Calcul de ...Si
0 ==> x1= ?? et x2= ?? ==> Les brins font respectivement x1 et x2 cm
2)
Maintenant, on essaie avec une ficelle de 93 cm
On cherche les racines, si elles existent de :
x² + (93-x)² -65² = 0
Donc, on développe, on calcule ...
3)
Enfin, on dit que la ficelle fait L cm
On cherche les racines possibles de :
x² + (L-x)² -65² = 0
= une expression avec L, mais il faut
0
d'où une condition sur L
Complément:
Soit C le 3ème point du triangle.
Tout ce qui précède suppose que le triangle ABC est rectangle en C et que AB est l'hypoténuse (le plus grand côté)
Si on accepte les triangles rectangles en A (hypoténuse BC) ou symétriquement en B (hypoténuse AC) c'est-à-dire, si AB est horizontal, C sur la verticale passant par A ou celle passant par B, il faut et il suffit que la ficelle fasse plus de 65cm pour avoir un triangle rectangle.
Dans ce cas, pour une ficelle de 89cm, si x et y sont les longueurs des brins :
x et 65 sont les longueurs des côtés de l'angle droit
y = 89-x est la longueur de l'hypoténuse
x+y=89
65²+x²=y²
D'où le résolution de :
x² - (89-x)² + 65² = 0 178x = 89²-65²
beaucoup moins fatigant, mais sans doute pas ce que ton prof attend.
Merci beaucoup pour toutes ces explications !
J'ai terminé la question 1 et 2.
Pour la 3, après le développement j'ai trouvé
2x2-2Lx+(L2-4225)=0
Avec ça me donne :
b2-4ac
2L2-8*(L2-4225)
Et après je ne sais pas trop comment continuer pour trouver la longueur maximale de la ficelle pour que la construction reste réalisable.
J'ai pensé au début à dire que L2doit être égal à 4225 mais je ne pense pas que cela soit correct.
Sauf erreur de ma part b=2L => b²=4L²...
donc = 4L² - 8L² + 8
4225 = 33800 - 4L²
Et il faut 0 (et bien sûr L>0)
Ah oui, faute d'inattention.. merci
A partir de 33800 - 4L2j'ai fais cela :
L = 33800/4=65
2
La longueur que ne doit pas passer est donc de 652, ce qui donne environ 92cm
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