Niveau première

[DM] Ensemble de points

Posté par
Jiberish 07-09-11 à 15:01

Bonjour,

Je suis en terminale, mais j'ai un DM de révisions de 1ère à rendre, et j'ai tout réussi pour l'instant sauf la fin des exercices sur les barycentres ou je bloque...

Voici l'énoncé, en espérant que vous allez pouvoir m'aider.

Soit ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AC], J le milieu de [BD]. Soit K le point tel que $\overrightarrow{KA}= -2\overrightarrow{KB}$ et L le point tel que $\overrightarrow{CL}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$ .

7. Déterminez l'ensemble E1 des points M tels que :
$||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|| = ||\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||$

J'ai bien sûr déjà réalisé des exercices similaires en 1ère, mais ce qui m'embête ici c'est qu'on ne nous donne pas de barycentre grâce auquel je pourrais utiliser la propriété fondamentale.
C'est peut-être tout bête et j'ai peut-être perdu l'habitude des raisonnements avec les barycentres durant l'été...

Merci d'avance !

Posté par re : [DM] Ensemble de points 07-09-11 à 15:41

Bonjour,

Un dessin pour commencer peut-être ?

[DM] Ensemble de points

Posté par re : [DM] Ensemble de points 07-09-11 à 17:37

Oui je l'ai déjà fais le dessin, c'était demandé dans les 1^ères questions. Mais je vois pas en quoi ça pourrait m'aider...

Posté par re : [DM] Ensemble de points 07-09-11 à 18:23

Soit $G$ le barycentre de $\{(A,1);(B,2);(C,1)\}$

Par associativité, $G$ est le barycentre de $\{(I,2);(B,2)\}$

Autrement dit, $G$ est le milieu du segment $[BI]$

Alors, d' une part, $||\vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC}||=||4\vec{MG}||$ (propriété fondamentale du barycentre).

soit: $||\vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC}||=4GM$

d' autre part: $||\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC}||=||\vec{MB}+\vec{BA}-2\vec{MB}+\vec{MB}+\vec{BC}||=||\vec{BA}+\vec{BC}||$

$||\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC}||=||2\vec{BI}||=2BI$

Si bien que ton équation de départ est équivalente à:

$4GM=2BI$

c' est à dire: $GM=GI$

Il s' agit du cercle de centre $G$ et de rayon $GI$ en rouge sur la figure.

Posté par re : [DM] Ensemble de points 07-09-11 à 18:32

Ah bon, j'ai le droit de dire "Soit $G$ le barycentre de $\{(A,1);(B;2);(C;1)\}$ " sans rien expliquer de plus sur ce sujet ?

Posté par re : [DM] Ensemble de points 07-09-11 à 21:35

Il n' y a rien à expliquer: la somme des coefficients est 4 donc différente de 0 et ce barycentre existe.

En TS, on doit être capable de prendre quelques menues initiatives...

Posté par re : [DM] Ensemble de points 08-09-11 à 07:52

Ah d'accord merci beaucoup, c'est pour ça que je bloquais ! Encore merci.

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