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DM et dérivée

Posté par
Nelcar
21-02-20 à 11:49

Bonjour, voici mon exercice 1 de mon DM
un ethnologue s'est intéressé à la construction des tipis dans plusieurs tribus nord-amérindiennes des grandes Plaines. Il a remarqué que le diamètre est pratiquement toujours égal à 6,50 m et que la hauteur s'élève en général à 4,50 m. Cet exercice a pour but de montrer que ce choix n'est pas le fruit du hasard
Supposons que les Indiens cherchent à construire un tipi d'un volume de 50m3
On note r le rayon du tipi et h sa hauteur
1) montrer que r²= 150/h
2) on note S la fonction définie sur ]1 ; 10 [ qui à h associe le carré de l'aire en m² de peau de bison nécessaire pour recouvrir la surface latérale du tipi.
Montrer que : S(h)= 150(150/*1/h²+h)
3) déterminer S'(h)
4) Soit h0[sup]3= 300/
Montrer que si h [h[sub]0
; 10] alors S'(h)>ou égalà 0
Aide : la fonction cube est croissante sur
on peut montrer de même que si h(1 ; h0] alors S'(h)<ou égal à 0
5) A l'aide de la calculatrice donner une valeur approchée de h0 à 0,01 près
6) expliquer alors pourquoi les tipis ont presque toujours les dimensions indiquées de l'énoncé
Merci pour votre aide.

Pour l'instant j'ai fait
1=r²=150(4,50)= environ 10,61032954 et sachant que 2r=6,50 r=3,25 et r²=3,25²=10,5625
pour le 2 j'ai fait en appliquant Pythagore (je note l'hypothénuse g) g²=3,25² + 4,50²=30,8125 donc g= 5,55 m
aire latérale = * 3,25 * 5,55 = 56,666  et comme on dit le carré je fais 56,6666²= 3211,11
et on nous dit que  150(150/*1/h²+h)=150(150/*1/4,50²+4,50= 150'47n75 * 0,04938 + 4,50)=3231,71
par contre je n'arrive pas à faire le 3) à calculer la dérivée
MERCI de votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 21-02-20 à 11:55

Bonjour,
je ne comprends pas ta réponse à la première question on te demande de montrer que r²= 150/h et tes calculs sont incompréhensibles.

ta réponse à la 2) non plus d'ailleurs, on te demande de montrer que S(h)= 150(150/*1/h²+h) et tu fais des calculs numériques incompréhensibles !

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 21-02-20 à 12:42

bonjour Glapion,
pour le 1) d'après l'énoncé on a : 2r=6,50  donc r=3,25 (6,50/2) et là je calcule r²= 150/h
r²=3,25²=10,5625  je vérifie donc pour
r²=150(4,50)= environ 10,61032954
merci de me dire si c'est bon

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 21-02-20 à 12:49

re,
pour le 2) je calcule comme il est mis dans l'énoncé :  le carré de l'aire en m²
donc pour avoir l'aire latérale il me faut le côté (hypothénuse que j'appelle g) d'après Paythagore je fais  g²=3,25² + 4,50²=30,8125 donc g= 5,55 m
l'aire latérale est égale à : * 3,25 *5n55=56,666 et comme dans l'énoncé il est noté le carré de l'aire donc je fais 56,6666²=3211,11 m²

donc : S(h)= 150(150/)*1/4n50²+4,50) = 3231,71 m²
donc j'ai démontrer que c'est pratiquemet la même réponse
Merci de me dire si c'est bon

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 21-02-20 à 12:50

pour la 3) S'(h) j'ai trouvé 1/2 h car d'après ce que j'ai vu la dérivée de PI est O

Merci

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 21-02-20 à 13:17

pour le 3 je me suis trompée j'ai trouvé f'(h)= -2/h3
merci de me dire si c'est bon

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 21-02-20 à 18:03

Citation :
pour le 1) d'après l'énoncé on a : 2r=6,50

non non, ça c'est une valeur qu'on trouve par expérimentation mais pour l'instant personne ne te demande de faire des applications numériques, ce qu'on veut faire c'est retrouver ces valeurs qui donnent un maximum de volume par le calcul.
A la première question on te demande de montrer que r²= 150/h et la seule donnée que tu as le droit d'utiliser c'est que le volume est de 50 m3.

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 21-02-20 à 19:03

donc je fais :
Volume = 50 m3
V= 1/3 *r²*h=50
donc 1/3 *r²* h=50
donc r²=50/(4,50*(1/3)[sm ?
b]pi[/smb] = 10,61  m²
est-ce bon pour la question par contre pour la 2 je suis perdue. Que dois-je faire ?
MERCI

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 21-02-20 à 19:18

V= 1/3 *r²*h=50 oui
*r²*h= 150 r² = 150/( h) et tu t'arrêtes là, tu as répondu à la première question. Pas d'application numérique.

Pour la 2) tu dois calculer la surface latérale du tipi en fonction de r et h puis en fonction de h seulement en utilisant la relation trouvée à la 1)
et on ne te demande toujours pas d'application numérique.

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 21-02-20 à 20:57

POUR La 2) dois la surface latérale du tipi =*r*(r²+h²)
puis je remplace r² par le résultat de la question 1 ce qui me donne
Aire= x(150/h)x(150/h+h²)
est-ce bon jusque là car après ça coince
MERCI

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 21-02-20 à 21:22

donc si j'ai bien compris S c'est le carré de l'aire donc
S = (smb]pi[/smb]*(150/h)x(150/h+h²) )²
mais je n'arrive pas à faire la suite pour arriver à S(h)= 150(150/*1/h²+h)
merci pour votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 21-02-20 à 23:28

S = *r*(r²+h²) c'est juste

il ne te reste plus qu'à exprimer S² en remplaçant r² par 150/h tu vas tomber sur l'expression demandée.

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 22-02-20 à 08:02

Bonjour,
je fais donc
S²=²*150/h*(150/h+h²)
et après je coince
MERCI

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 22-02-20 à 08:30

et la question 3  j'ai trouvé  f'(h)= -2/h3
est-ce bon ? mais en partant de ce qu'ils ont mis car je n'y arrive pas à trouver avec ma réponse
MERCI

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 22-02-20 à 10:54


S² = ²r²(r²+h²) = ²(150/h)(150/h+h²) = 150(150/*1/h²+h)

dérivée : 150(150/*(-2/h3) + 1)

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 22-02-20 à 11:25

Re,
je ne comprends pas ton passage de : PI ²(150/PIh)(150/PIh+h²)   à 150PI(150/PI*1/h²+h)
merci de m'expliquer
ensuite pour la dérivée, je pensais que PI était une constante donc sa dérivée était nulle .?
MERCI

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 22-02-20 à 13:58

Re,
en cherchant pas mal, j'ai enfin trouvé le passage de : PI ²(150/PIh)(150/PIh+h²)   à 150PI(150/PI*1/h²+h)
maintenant on me demande 4) Soit h0[sup]3[sup[= 300/
Montrer que si h [h0 ; 10] alors S'(h)>ou égalà 0
Aide : la fonction cube est croissante sur
on peut montrer de même que si h [I ; h0] alors S'(h)<ou égal à 0
Merci de me mettre sur la voie

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 22-02-20 à 14:22

Citation :
je ne comprends pas ton passage

vérifie que dans les deux expressions que les coefficients de h² et de h sont bien les mêmes.

Citation :
je pensais que PI était une constante donc sa dérivée était nulle .?

oui la dérivée de pi est nulle mais c'est la dérivée de h qui donne le 1

h0 est la valeur qui annule la dérivée. il faut étudier le signe de cette dérivée.
Mets la sous la forme 150(1-(h0/h)3)
le signe est simple à trouver, si h < h0 alors (h0/h) > 1 son cube aussi et la dérivée est négative, et après h0 elle est positive.

h0 est donc l'abscisse qui minimise la fonction S et donc le nombre de peaux de bison.
Et maintenant tu vas pouvoir calculer h0 et le comparer aux 4,5 m qui sont observés souvent.

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 22-02-20 à 15:22

Re,
je n'ai pas compris ceci :
150 pi(1-(h0/h)3)   comment as-tu fait ?

tu notes :
le signe est simple à trouver, si h < h0 alors (h0/h) > 1 son cube aussi et la dérivée est négative, et après h0 elle est positive.

donc je peux dire que si h>h0 alors (h0/h)<1 son cube aussi et la dérivée est positive.

on me demande de calculer à la calculatrice (valeur approchée de h0 à 0,01 près) que faut-il que je fasse (300/pi)? SOIT : 95,49 ?

et je ne comprends pas  ce que tu m'as mis à savoir :
Et maintenant tu vas pouvoir calculer h0 et le comparer aux 4,5 m qui sont observés souvent.
Je ne vois pas comment, peux-tu me mettre sur la voie.
MERCI

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 22-02-20 à 16:36

re,
et pour le 6) 6) expliquer alors pourquoi les tipis ont presque toujours les dimensions indiquées de l'énoncé

j'ai fait 3racine95,49 et j'ai trouvé environ 4,57

MERCI

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 22-02-20 à 21:10

oui donc on trouve un optimum pour h0 = 4,57 m et c'est bien à peu près ce que les indiens faisait empiriquement. Calcule aussi le r qui correspond et compare le.

Pour 150(1-(h0/h)3), au pire remplace h03 dans cette expression et tu verras qu'on retombe bien sur S²

Je ne peux pas te faire tous les calculs, essaye de te débrouiller un peu tout seul aussi.

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 23-02-20 à 10:54

bonjour,
pour l'instant je n'arrive toujours pas à trouver  150(1-(h0/h)3)
je ne peux aller plus loin pour l'instant
ça y est je viens de touver par contre je ne trouve pas j'ai une réponse négative.

et autre point
tu notes :
le signe est simple à trouver, si h < h0 alors (h0/h) > 1 son cube aussi et la dérivée est négative, et après h0 elle est positive.
est-ce bon ?

MERCI

j'avais mis : je peux dire que si h>h0 alors (h0/h)<1 son cube aussi et la dérivée est positive.
et

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 23-02-20 à 11:11


la dérivée vaut 150(150/*(-2/h3) + 1)
on remplace le 150/ par h03/2
= 150( (- h03/h3) + 1)
= 150(1-(h0/h)3)

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 23-02-20 à 11:48

oui ok mais je n'arrive pas à trouver la réponse,
=150pi(1-(300/pi/h)puissance 3
je calcule 300/pi j'ai 942,47 et après..... réponse négative donc pas possible
MERCI

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 23-02-20 à 11:50

Citation :
je n'arrive pas à trouver la réponse,

la réponse à quoi au juste ?

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 23-02-20 à 12:38

tu m'avais mis :
oui donc on trouve un optimum pour h0 = 4,57 m et c'est bien à peu près ce que les indiens faisait empiriquement. Calcule aussi le r qui correspond et compare le.

Pour 150(1-(h0/h)3), au pire remplace h03 dans cette expression et tu verras qu'on retombe bien sur S²

Pour calculer S²
MERCI

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 23-02-20 à 13:08

Pour 150(1-(h0/h)3) je t'ai fait le calcul à 11:11

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 23-02-20 à 13:12

oui mais je pensais que je devais retrouver r ou S² en valeur
MERCI

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 23-02-20 à 15:25

non personne ne t'a demandé ça, il faut juste que tu donnes la valeur de h0, ce que tu as déjà fait, ainsi que la valeur de r.

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 23-02-20 à 21:25

OK
mais comment dois-je faire pour trouver r (je dois partir de quoi ?)
MERCI

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 23-02-20 à 23:10

tu le fais exprès, c'est pas possible !
r²= 150/h, tu as le h tu peux trouver r, non ?

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 24-02-20 à 08:33

bonjour,
ah bien ! là je suis plus que bête, mille excuses.
Merci encore

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 24-02-20 à 08:39

autre point pour la question 4 qui est :
4) Soit h0[sup]3= 300/
Montrer que si h [h[sub]0 ; 10] alors S'(h)>ou égalà 0
Aide : la fonction cube est croissante sur
on peut montrer de même que si h(1 ; h0] alors S'(h)<ou égal à 0
tu m'as mis :

h0 est la valeur qui annule la dérivée. il faut étudier le signe de cette dérivée.
Mets la sous la forme 150(1-(h0/h)3)
le signe est simple à trouver, si h < h0 alors (h0/h) > 1 son cube aussi et la dérivée est négative, et après h0 elle est positive.


c'est ce que je dois mettre (j'ai encore beaucoup de mal avec ça)

MERCI

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM et dérivée 24-02-20 à 12:07

tu peux faire une présentation plus mathématique

si h < h0 h0/h > 1 (h0/h)3 > 1 (1-(h0/h)3) < 0 ce qui montre que la dérivée est négative

Posté par
Nelcar
re : DM et dérivée 24-02-20 à 12:14

OK Merci
bonne journée



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