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...DM : fonction, asymptote etc (un peu de tout)...
Dans un repère orthonormé (O; 
; 
), on donne les points B (-1;0), C (1;0) et la droite D d'équation
y=2x+3. On considère un point A qui décrit la droite D, et on note
H, s'il existe, l'orthocentre du traingle ABC.
1. Quelle est la condition d'existence du point H? ( nous avions
répondu a cette question en cour a l'aide de Géoplan)
2.Calculer les coordonnées de H en fonction de l'abscisse x de A.
3. Déterminer et construire le lieu géométrique K du point H (on étudiera
une certaine fonction et on établira que la droite 
d'équation y=(-1/2)x+3/4 est asymptote à K ; on précisera les
positions relatives de K et de .
Merci d'avance pour l'aide que vous nous apportez à chaque fois!
1)
H existe si les points A, B et C ne sont pas alignés.
Ils sont alignés si l'ordonnée de A est 0. -> 0 = 2x + 3
x = -3/2
Donc H existe si A est n'importe où sur D sauf au point de coordonnées(-3/2
; 0)
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2)
A(X ; 2X+3)
le coeff directeur de la droite (AB) est : (2X+3)/(X+1)
Les perpendiculaires à (AB) ont pour équation: y = -[(X+1)/(2X+3)]x +
k
Pour celle qui passe par C:
0 = -[(X+1)/(2X+3)] + k
k = [(X+1)/(2X+3)]
L'équation de la droite supportant la hauteur issue de C du triangle ABC est:
y = -[(X+1)/(2X+3)]x + [(X+1)/(2X+3)]
La hauteur issue de A du triangle ABC a pour équation: x = X
On trouve les coordonnées de H en résolvant le système:
y = -[(X+1)/(2X+3)]x + [(X+1)/(2X+3)]
x = X
Rappel (X est l'abscisse de A)
y(H) = -[(X+1)/(2X+3)]X + [(X+1)/(2X+3)]
y(H) = -[(X+1)/(2X+3)].(X-1)
y(H) = -(X²-1)/(2X+3)
On a H(X ; -(X²-1)/(2X+3)) avec X l'abscisse de A.
------
3)
Le lieu de H a pour équation:
y = -(x²-1)/(2x+3)
qui peut s'écrire:
y = [(-1/2)x + (3/4)] - [(5/4)/(2x+3)]
lim(x-> +/- oo) [(5/4)/(2x+3)] = 0
et donc la droite d'équation: y = (-1/2)x + (3/4) est asymptote
à K.
---
Avec f(x) = -(x²-1)/(2x+3)
Etude du signe de f(x) - [(-1/2)x + (3/4)]:
f(x) - [(-1/2)x + (3/4)] = -[(5/4)/(2x+3)]
f(x) - [(-1/2)x + (3/4)] > 0 pour x compris dans ]-oo ; -3/2[ -> K est
au dessus de D
f(x) - [(-1/2)x + (3/4)] < 0 pour x compris dans ]-3/2 ; oo[ -> K est
en dessous de D
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Sauf distraction 
1) H existe si le triangle existe, c'est a dire si les points
A,B et C
ne sont pas alignés.
A(x,2x+3)
B(-1,0)
C(1,0)
tu montres facilement que c'est pour x=-3/2 que A est sur la droite
BC.
car c'est pour cette valeur que l'ordonnée de A est nulle.
la condition cherchée est donc x différent de -3/2
2)BC(2,0)
AH=(xh-x, yh-2x-3)
on veut AH orthogonal à BC ca fait : 2(xh-x)+0*(yh-2x-3)=0
soit xh=x on sait deja ca !
ensuite on fait
AB(-1-x,0-2x-3)
CH=(xh-1,yh-0)
on veut AB et CH orthogoanl soit
(-1-x)*(xh-1)+(yh*(-2x-3)=0
on sait que xh=x
(-1-x)(x-1)=(2x+3)yh
donc yh=(x-1)(-1-x)/(2x+3)
on retrouve pourqsquoi x doit etre différent de -3/2 sinon on diviserai
par 0.
le lieu de H c'est la courbe y=(x-1)(-1-x)/(2x+3)
effectivement y=(-1/2)x+3/4 est asymtpote ca je te le laisse.
A+
Aie,
Désolé JP!
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