Bonjour,
j'ai un dm de maths sur les fontions convexe,
et les questions sont :
1) donner l'équation de la corde, en sachant que c'est la droite qui passe par A ( a ; f(a)) et B ( b ; f(b))
2)- montrez que la fonction f(x)= x2 est convexe ( on pourra être amener a étudier le signe dont la parabole est tournée vers le haut est une fonction convexe )
-montrez que la fonction f(x)=2x2-3x+1 est convexe' ( en fait tout trinôme dont la parabole est tournée vers le haut est une fonction convexe )
3)En notant t=x-a/b-a, montrer que l'équation de la corde (cf question 1) peut se mettre sous la forme :
- y= (1-t)f(a) + tf(b) avec t appartient a [0 ; 1] quand x appartient [ a ; b ]
- montrez en utilisant l'égalité t=x-a/b-a que x= (1-t)a + tb
4) on veut maintenant démontrer que la fonction valeur absolue est convexe. il s'agit donc, aprés avoir remplacé x par l'expression obtenue à la question pécédente, de prouver que valeur absolue de x (1-t)valeur absolue de a + t fois valeur absolue de b
indication:partir de valeur absolue de x et utiliser l'inégalité triangulaire ( la valuer absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme dez valeurs absolue)
merci de m'aider pour ce dm j'ai essayé en vain , je n'y arrive pas j'espére que vous aller savoir me donner des piste
Bonsoir,
1)
2) :
Equation de la corde:
Avec en supposant
:
car
et
donc la fonction carré est convexe.
3)
avec
et
donc
4)
avec l' inégalité triangulaire.
pour tout
La fonction valeur absolue est convexe.
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