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dm fonction convexe

Posté par
lidelo
21-11-10 à 18:03

Bonjour,
j'ai un dm de maths sur les fontions convexe,
et les questions sont :
1) donner l'équation de la corde, en sachant que c'est la droite qui passe par A ( a ; f(a)) et B ( b ; f(b))
2)- montrez que la fonction f(x)= x2 est convexe ( on pourra être amener a étudier le signe dont la parabole est tournée vers le haut est une fonction convexe )
  -montrez que la fonction f(x)=2x2-3x+1 est convexe' ( en fait tout trinôme  dont la parabole est tournée vers le haut est une fonction convexe )
3)En notant t=x-a/b-a, montrer que l'équation de la corde (cf question 1) peut se mettre sous la forme :
- y= (1-t)f(a) + tf(b) avec t appartient a [0 ; 1] quand x appartient [ a ; b ]
- montrez en utilisant l'égalité t=x-a/b-a que x= (1-t)a + tb
4) on veut maintenant démontrer que la fonction  valeur absolue est convexe. il s'agit donc, aprés avoir remplacé x par l'expression  obtenue  à la question pécédente, de prouver  que valeur absolue de x (1-t)valeur absolue de a + t fois valeur absolue de b
indication:partir de valeur absolue de x  et utiliser l'inégalité triangulaire ( la valuer absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme dez valeurs absolue)

merci de m'aider pour ce dm j'ai essayé en vain , je n'y arrive pas j'espére que vous aller savoir me donner des piste

Posté par
lidelo
re : dm fonction convexe 21-11-10 à 18:41

répondez moi s'il vous plait

Posté par
cailloux Correcteur
re : dm fonction convexe 21-11-10 à 22:45

Bonsoir,

1) y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)

2) f(x)=x^2:

Equation de la corde: y=\frac{b^2-a^2}{b-a}(x-a)+a^2=(b+a)(x-a)+a^2

y=(a+b)x-ab

Avec x\in[a,b] en supposant a<b:

f(x)-[(b+a)x-ab]=x^2-(a+b)x+ab\=(x-a)(x+b)\leq 0 car x-a\geq 0 et x-b\leq 0

donc la fonction carré est convexe.

3) t=\frac{x-a}{b-a}

y=[f(b)-f(a)]t+f(a)

y=(1-t)f(a)+tf(b) avec t\in[0,1]

et x-a=t(b-a)

donc x=(1-t)a+tb

4) f(x)=|x|

f[(1-t)a+b]=|(1-t)a+tb|\leq (1-t)|a|+t|b| avec l' inégalité triangulaire.

f[(1-t)a+b]\leq (1-t)f(a)+tf(b) pour tout t\in[0,1]

La fonction valeur absolue est convexe.


Posté par
cailloux Correcteur
re : dm fonction convexe 22-11-10 à 11:28

Une erreur s' est glissée ici:

Citation :
f(x)-[(b+a)x-ab]=x^2-(a+b)x+ab\=(x-a)(x+b)\leq 0 car x-a\geq 0 et x-b\leq 0


Il faut lire:

f(x)-[(b+a)x-ab]=x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)\leq 0 car x-a\geq 0 et x-b\leq 0



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