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Dm fonctions dérivées,
Bonjour à tous et à toutes , je suis nouveau sur ce forum, et malheureusement je n'ai pas pris la peine de vérifier si quelqu'un avait déjà eu le même problème que moi et je vous prie de m'excuser, cependant je suis en première S , et j'ai un devoir maison que j'essaie de faire depuis ce matin mais je n'ai reussi qu'à faire la première question ! Donc j'aurais vraiment besoin que quelqu'un prenne un peu de son temps pour m'aider svp.
L'énoncé est le suivant : "On considère une fonction f définie par f(x)=(x-1)2racine(x-1)
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Préciser son ensemble de définition Df
2) Etablir le taux d'accroissement t(x) de la fonction en 1, et montrer que f est dérivable en 1 .
3) En déduire que la fonction f est dérivable sur [1;+infini[ et donner f'(x) sur cet intervalle
4) Justifier que f est strictement croissante sur [1;+infini[
En déduire le tableau de variation de f
5) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 1. Tracer Cf et sa tangente en 1
Alors voilà, pour la première question, j'ai mis: Df= [1;+infini[ vu que si x est inferieur à un, on obtient la racine d'un nombre négatif, et donc une valeur interdite.
Pour ce qui est de la question 2, (celle qui me pose le plus de problème) il faut déterminer le taux d'accroissement, et je ne sais plus si c'est la même chose que le taux de variation, mais en admettant que ce soit bien le cas, j'ai beau factoriser de toutes les façons après avoir fait
f(a+h)- f(a)/h , je ne trouve pas que f est dérivable en 1.
Pour la 3ème question, le problème qui se pose est que, si la fonction f est dérivable sur [1;+infini[, avec 1 inclus, sachant que, par définition, f(x)=racine de x signifique que f'(x)= 1/2racine de x , on obtiendrait un dénominateur égal à 0, ce qui est impossible... à moins que je sois bête ou que j'ai fait une erreur quelque part, mais sincèrement, après avoir cherché toute la journée, je suis perdu ^^' donc toute aide est bienvenue ^^
Bonsoir!!
on calcule la limite quand x tend vers 1 par valeurs supérieures de (f(x)-f(1))(x-1) (qui fait(x-1) 
(x-1)) : c'est bien une limite finie (0) d'ou la derivabilité en 1
(te fonction, c'est bien (x-1)2 (x-1) pas vrai?)
Oui Oui c'est bien ç, mais je n'arrive pas à faire les racines ^^'. En revanche, je n'ai pas trop compris l'explication ^^' pour établir le taux d'accroissement, il faut bien utiliser la formule f(a+h)-f(a)/h non? avec h->0 mais en faisant ça je n'ai pas reussi à trouver 1 et donc à pouvoir montrer que f est dérivable en 1.
ça revient au meme 
tu peux soit calculer la limite quand x tend vers a de
( f(x)-f(a) ) / (x-a)
ou, en posantx=a+h, la limite quand h tend vers 0 de la formule que tu as donné.
Si tu veux utiliser la seconde, pas de probleme.
Tu obtiens:
f(a+h)=f(1+h)=(1+h-1)2 (h+1-1)=...
f(a)=f(1)=0
en formant le taux d'accroissement il reste hh qui tend vers o quand h->0
C'est précisément ce que j'ai trouvé, mais je suis censé trouver 1 pour pouvoir dire que f est dérivable en 1 non?
Non pas du tout! il faut et il suffit de trouver une limite finie!
la fonction identité est bien dérivable sur R, et sa dérivée vaut 1 partout. Par exmeple elle vaut 1 en 124, et ce n'est pas pour autant que la fonction n'est pas dérivable en 124
Elle est dérivable sur [1;+infini[ non? et le problème c'est que si elle est dérivable sur un, alors la dérivée de racine de (x-1) obtient un dénominateur nul puisque ça donnerait 1/2*(1-1)
attention! la fonction x-> (x-1) n'est pas dérivable en 1 certes.
Mais ce n'est pas ta fonction!!!
En multipliant par (x-1)2, tu "corriges la pathologie" et tu obtiens une fonction dérivable en 1. Qu'obtiens tu en caluculant la déivée de ta fonction?
Ah ouiii mais quel idiot je fais pfft
ça me fait un produit d'une fonction carré dérivable sur R, et une fonction racine carré dérivable sur [1;+infini[
donc ça me fait (2x-2)(racine(x-1)) + (x-1)2(1/2(racine x-1))
Par contre , je n'ai toujours pas compris pourquoi est-ce-que, en obtenant h fois racine de h pour la question 1, cela nous permet de conclure directement que h est dérivable en 1 c'est parcequ'on a remplacé dès le départ nos "a" par 1 c'est ça? Et vu que l'on trouve que la fonction a un "nombre" dérivé en 1, on en déduit que la fonction f est dérivable en 1 c'est bien ça?
N.B: Désolé, je ne suis pas très fort en maths, et je le montre bien ^^'
(réponse au NB: je me souviens avoir été particulièrement déroutée en première après qu'on ait fait ce chapitre (mon problème à moi, c'était que je ne voyais pas la différence entre limite en un point et nombre dérivé en un point alors que ça n'a rien à voir, ça ne m'a pas empéché de faire prépa maths^^))
OK pour la dérivée
Alors, pour ce qui est de la dérivabilité , en gros , voila:
quand tu cherches la dérivabilité en un point a, tu écris ta formule avec les h, puis tu remplaces a par sa valeur qui ici est 1.
ensuite, tu fais tendre h vers 0. De deux choses l'une:
-soit tu trouves une limite infinie, et donc tu en déduis que f n'est pas dérivable en a
-soit tu trouves une limite finie , et donc tu en déduis que f est dérivable en a, et la limite finie c'est justement le nombre déivé de f en a
arggggg
Oups! attention! petite étourderie! regarde: tu as écris que racine de(x-1) est dérivable en 1 !
Sisi je suis là. C'est juste qu'il était minuit et j'ai du éteindre l'ordi. En tout cas je te suis reconnaissant pour ton aide, parceque sans toi, c'était le 0 pointé mdr, le dm est à rendre pour demain, mais en ce qui concerne la question 3 et 4,
On sait que la fonction f est le produit d'une fonction carré dérivable sur R et d'une fonction racine carré dérivable sur ]1;+infini[ donc la fonction f est dérivable sur ]1;+infini[ , or, si on fait le calcul, on obtient bien la fonction f dérivable sur [1;+infini[ mais mon prof me dit à chaque fois de donner l'ensemble de dérivabilité avant de faire le calcul u'(x)v(x)+u(x)v'(x) donc c'est bizarre, on part d'un truc impossible pour arriver à quelque chose de plausible lol. Mais même en admettant que ce soit bien [1;+infini[, en quoi ça prouve que la fonction est strictement croissante sur [1;+infini[ ?
PS: Tu m'as dit que si on obtient une limite infinie, on en déduit que f n'est pas dérivable en a, mais tu aurais un exemple de limite infinie? Comme ça j'arriverais mieux à faire la différence entre les 2 ^^
PPS: Pour ta réponse à mon "N.B" , je dis que j'espère pouvoir devenir rapidement aussi bon que toi ^^
Bonjour!!
:D:D
Effectivement ton prof a raison (sans blagues?
). Et vu ce que tu as écrit, je vois que tu as compris bien plus de choses que tu ne le penses!!
Pour les domaines de dérivabilité, on a un certain nombre de fonctions de référence qui nous donnent des informations...Ca, il faut le noter au début de sa réponse , AVANT de se mettre à dériver.
Tu l'as fait :
On sait que la fonction f est le produit d'une fonction carré dérivable sur R et d'une fonction racine carré dérivable sur ]1;+infini[ donc la fonction f est dérivable sur ]1;+infini[
Le probleme, c'est que cette méthode ne donne pas des informations partout: elle te donne les points ou tu es sur que ta fonction est dérivable (ici à savoir pour x strictement plus grand que 1). Néanmoins, il arrive qu'en "arrengeant" un peu la fonction , on puisse étendre un peu le domaine de dérivabilité (ici on multiplie la fonction racine par une fonction carrée et ça permet d'inclure 1). Le problème, c'est qu'il n'y a QU'UNE façon de le voir: y aller à la main, en calculant la limite du taux d'accroissement en ce point. Mais bon, ça, rassure toi, ça ne se devine pas...Ce n'est que parce que l'énoncé te dit d'aller voir ce qui se passe en 1 que tu le constate ^^.
Reponse au PS: puisqu'on est sur les racines...
Considères f: x->
x
Forme le taux d'aacroissement en 0:
(f(0+h)-f(0))/h qui fait
h / h ou encore 1/h
La limite lorsque h tend vers 0 de cette expression est +
donc f n'est pas dérivable en 0
Reponse au NB: cois moi, je suis loin d'etre une lumière ^^
Si tu as d'autres questions...^^
J'ai réussi à repousser le devoir pour demain ^^. Merci en tout cas pour ton aide ^^, je vais essayer de le faire en vite fait et tu me diras ce que t'en penses, ce qu'il manque, etc... s'il-te-plait ^^.
1) La fonction f est le produit d'une fonction carré dérivable sur R et d'une fonction racine carré dérivable sur
]1;+oo[ donc la fonction f est dérivable sur ]1;+oo[
2) t(x)= f(a+h)-f(a)/h
t(x)= [(1+h-1)2(h+1-1)]/h
t(x)= h2h/ h
t(x)= hh
hh->0 quand h->0 donc le taux d'accroissement de la fonction f en 1 est 0 et la fonction f est bel et bien dérivable en 1 (je ne suis pas du tout sur De la rédaction sur ce coup il y a des trucs à ajouter ou à reformuler non?
3) Pour les questions 3,4 et 5... il faut que tu vienne à la rescousse
Bonjour ! ^^
1) On te demande le domaine de définition pas de dérivabilité Mais bon, qui peut le plus peut le moins...J'imagine que tu vois tres bien que f est définie sur [1,+[
2) calculs:
Par contre, petite étourderie: quand tu calcules le taux d'accroissement en a, écris t(a) pas t(x). Ainsi, pour ta premiere ligne de calculs, comme tu choisis de donner la formule générale, écris t(a). Pour les lignes suivantes, c'est t(1)
Pour la conclusion:
h
h->0 quand h->0 donc le taux d'accroissement de la fonction f en 1 est 0
Pour montrer que tu as bien compris écris un truc du genre: cette limite est donc finie, on en déduit que f est bien dérivable en 1 et on a que le nombre dérivé vaut 0
3) Le début de cette question, tu y as déja répondu ^^ (tu t'es trompé, tu l'as mis en question 1 ^^)
La fonction f est le produit d'une fonction carré dérivable sur R et d'une fonction racine carré dérivable sur ]1;+oo[ donc la fonction f est dérivable sur ]1;+oo[
Ensuite tu dis : la question 2 nous a permis de voir en plus que f est dérivable en 1. On en conclut au final que f est dérivable sur [1,+
[
Bon là tu calcules avec u'v+v'u
Pour tout x
[1,+[ on a:
f'(x)=2(x-1)
(x-1) + (x-1)2/(2(x-1)
= (5/2)*(x-1)2
(x-1)
4)Tu sais que le signe de la dérivée donne le sens de variation de f:
-dérivée positive=> f croissante
-dérivée négative => f décroissante
(ensuite on peut affiner selon que f' s'annule ou pas sur un intervalle non trivial, mais çs je crois que c'est pas en première)
Etant donnée que notre dérivée est positive (je te fais confiance pour le montrer, c'est vraiment pas compliqué^^) on en déduit que f est croissante sur [1,+
[
Voila!!! on a les variations
Pour pffiner le tableau, il faut voir ce qui se passe aux extrémités de l'intervalle considéré, c'est à dire en 1 et en l'infini:
on a f(1)=0 et lim(f(x)) quand x->+l'infini = +
puisque f est le produit de 2 fonctions qui tendent vers + en +
5)Application directe de la formule (celle la, je te conseille de la connaitre, elle te suivra PARTOUT (meme en vacances,sur la plage, en prépa^^...))
Une équation recherchée est donnée par : y=f'(1)(x-1)+f(1)
tu remplaces et c'est bon!!!
Voila.... si tu as d'autres questions, n'hésite pas ^^
t'es géniaaal(e) merci beaucoup pour tout le temps que tu m'as consacré !! Je vais essayer d'aller mettre tout ça sur feuille et te redemander quelques trucs si j'ai encore un beug et surtout si t'es toujours d'accord lol. En tout cas merci ^^
Par qu'un moment pour la dérivée, je pensais à faire la composée d'un produit lol par exemple
avec f(x)= (x-1)2(x-1)
a(x)=x2, u(x)=(x-1)
b(x)=x , et v(x)= (x-1)
Mais tu viens de me montrer que c'est même pas la peine
Je repasse juste histoire de voir que tout va bien (enchantée de faire ta connaissance 
). Je veille assez tard tous les soirs (en prépa, on a trente six mille devoirs par semaine, donc on dort pas beacoup donc je t'en prie ^^)
Ouah... t'es en prépas et tu trouves le temps de m'aider... qu'est-ce que j'ai fait pour mériter autant d'attention? xD en tout cas je vais pas m'plaindre
Par contre, j'ai pas compris comment est-ce que tu es passée d'ici
f'(x)=2(x-1)(x-1) + (x-1)2/(2(x-1)
= (5/2)*(x-1)2 (x-1)
et le "*" c'est un signe multiplié?
Bonjour !
J'espère que tu t'en es sorti(e)!
Ya pas de probleme, tu me déranges pas , et puis c'est un site d'entraide pas vrai
Bon courage pour la suite !!!
Juste pour venir te remercier, et te dire que j'ai eu un bon "A" grâce à ton aide. Encore merci infiniment ^^
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