1/
a/
p>=0
f(x)=x^3+px+q
on dérive pour connaitre les variations de f la fonction est définie dans R tout entier
on recherche les solutions de f'
f'(x)=3x²+p f'(x)=0 ssi 3x²+p=0 ssi 3x²=-p x²=-p/3 or p>=0 donc -p<=0
or dans R pas possible

donc f'(x) n'admet pas de solution f' est toujours positif
donc f(x) est strictemen croissante et n'admet pas de maximum ou de minimum

b/si p<0 alors x²=-p/3>0 alors x=V(-p/3) ou x=-V(-p/3) V pour racine carrée
f'(x)=(x-V(-p/3))(x+V(-p/3))
    -oo        -V(-p/3)      V(-p/3)        +oo
f'        +              -             +
f         /       M      \     m         /

donc f admet un maximum en -V(-p/3) et un mimum en V(-p/3)
M=f(-V(-p/3)) m=f(V(-p/3))

mM=(-V(-p/3)*p/3-pV(-p/3)+q))*(V(-p/3)*p/3+pV(-p/3)+q)
  =p²/9+p^3/9-qp/3V(-p/3)+p^3/9+p^3/3-qpV(-p/3)+qp/3V(-p/3)+pqV(-p/3)+q²

à vérifier le calcul

2/
p<0
lim f(x)=-oo quand x tend vers - oo
lim f(x)=+oo quand x tend vers + oo

donc si m<M<0 comme on passe de - oo à + oo il existe une unique valeur de x pour lequel f(x)=0
même raisonnement pour M>m>0

si m=M=0
alors on a ces 2 solutions ce sont V(-p/3) et -V(-p/3)
car en suivant le tableau de variation il ne peut pas y avoir d'autre valeur de x qui annule f

si m<0<M

comme la suite est croissante qu'elle passe d'une valeur négative - oo positive à une valeur positive M il une valeur de x pour lesquel f(x)=0 de même entre M et m car m<0 et idem entre m et +oo donc cela fait 3 solutions

Bonjour tite-diablotine!

Quand tu nous soumet un exercice long, pense à préciser les parties que tu as déjà fait.

(1)

f admet un minimum ou maximum local en x si f'(x)=0
Je te laisse répondre à (a) et (b)

(2)
Une fonction cubique a une forme de S et suivant où sont placés les extréma l'équation f(x) peut avoir 1, 2 ou 3 solutions. Dans mon dessin les lignes horizontales indiquent des positions possibles pour l'axe des x. La courbe en noir représente f. (C'est une esquisse seulement.) Dans le cas rouge, il f(x)=0 a qu'une solution, dans le cas bleu il y a 2 solutions et dans le cas vert il y a 3 solutions.

Isis

dans ce cas il faut que mM soit négatif utiliser l'expression mM vu dans la question bien évidement réduite à sa plus simple expression et regarder dans quel cas mM est négatif cela donnera la condition demandée

3/
changement d'inconnu
on pose x=X-b/3
(X-b/3)^3+b(X-b/3)²+c(X-b/3)+d=0
X^3-3X²b/3+3Xb²/9-b^3/27+b(X²-2Xb/3+b²/9+cX-cb/3+d=0
X^3-bX²+Xb²/3-b^3/27+bX²-2Xb²/3+b^3/9+cX-cb/3+d=0
X^3+X(b²/3-2b²/3+c)-b^3/27+b^/9-cb/3+d=0
X^3+(c-b²/3)X-2b^3/27-cb/3+d=0 alors l'équation n'est pas en X²

3/b
x=X+1/3
(X+1/3)^3-(X+1/3)²+2X+2/3-7=0
X^3+X²+X/3+1/27-X²-2/3X-1/9+2X+2/3-7=0
X^3+5/3X+1/27+2/3-7=0

x=X+5/3
(X+5/3)^3-5(X+5/3)²+3X+5+9=0

et pour l'autre prendre x=X-1/3

c/calculer les dérivées etc faire une étude traditionnelle
1- f'(x)=x²-x+2
2- f'(x)=x²-10x+3
3- f'(x)=x²+x-17

Bonjour,

je ne suis pas totalement d'accord avec ce que vous dîtes pour la première question:

f admet un minimum ou maximum local en x si f'(x)=0 et aussi (attention !!) si f'(x) change de signe en ce point.

ici f'(x)=3x²+p.
Si p = 0, on a f'(x) = 3x² qui s'annule en 0 mais x=0 n'est pas pour autant un minimum ou un maximum, c'est juste un point d'inflexion, car la dérivée est toujours positive (ou nulle) sur f'(x)...

Voilà, je voulais juste préciser ça.

Etes-vous d'accord ?

A la prochaine,
BABA72

Dans la première question, f'(x) est positive ou nulle, mais n'a pas de minimum ou maximum.

BABA72

Je suis d'accord avec BABA72 concernant le cas f'(x)=0 et f' ne change pas de signe en x. C'est d'ailleurs pour cette raison que l'exercice demande d'étudier p>0 et p<0 mais pas p=0.

Isis

En fait, isisstruiss (je me demande d'où vient ce nom ), sauf dans la première question où p >= 0 :

a) Montrer que , si p > ou égal a 0  , la fonction f n'admet ni maximum , ni minimum .

donc je signalais juste que :

si p>0, f'(x) positive donc pas de minimum ni maximum,
si p=0, f'(x) positive ou nulle, et ds le cas où elle est nulle, f'(x) ne change pas de signe (à montrer) donc pas de mini ni de maxi non plus.

BABA72

Absolument, BABA72 ne manque pas de rigueur...

"isisstruiss (je me demande d'où vient ce nom )" --> C'est un commentaire ou une question?

Isis

Ah, la rigueur en maths, on pourrait en faire une thèse, mais je pense qu'il faut s'y habituer dès le début...

sinon, c'était une question, car même phonétiquement, je ne vois rien...

Pour "Isis" je pense que tu peux trouver facilement, c'est une déesse égyptienne. Pour "Struiss" ça vient de "Struis", mais je préfère garder le mystère. Si tu es vraiment très intérésé tu peux faire un petit coup de Google avec "Struis" et essayer de deviner...

Isis

pour Isis, c'était ok (Isis et Osiris...) mais la suite c'est pô gagné, on verra un peu plus tard...

Bonne fin d'aprem,
BABA

J'ai réussi a faire tout le 1) a part m*M que je ne comprends pas ... et le 2 j'ai du mal aussi .. aidez moi svp

j'ai réussi avec du mal a faire le 1 et le 2) a mais maintenant je bloque sur le 2b et c par conséquent

salut
je fais le b)
je te laisse faire ce calcul la :
m*M=4*p^3/27 + q²

l'équation  x^3 + px + q = 0  admet 3 solutions distinctes dans R
montrons que
4p^3 + 27 q^2 < 0.

raisonnement par l'absurde : 4p^3+27q^2 >= 0
donc M*m >= 0

1 er cas : M=0 ou m=0 l'equation admet donc deux solutions seulement.
(resultat precedent) contradiction.

2eme cas : m < M < 0 ou m > M > 0 une seule solution contradiction.

dans les 2 cas contradiction donc 4p^3 + 27 q^2 < 0.

si 4p^3 + 27 q^2 < 0 alors m*M<0 donc m < 0 < M
on a donc 3 solutions.

j'ai réussi a faire le 2b depuis toute a l'heure maintenant je bloque sur lec ...

bon allez j'ai des scrupules :

m=f(-V(-p/3))=(1/27)*(-3p)^(3/2)+(p/3)*V(-3p) +q

M=f(V(-p/3))=(-1/27)*(-3p)^(3/2)-(p/3)*V(-3p)+q

il faut maintenant faire m*M (hic !!!)

m*M=p^3/27 -p^3/9 + q*(-3p)^(3/2)/27 -p^3/9+p^3/3+q*(p/3)*(-3p)^(1/2)-q*(-3p)^(3/2)/27 -q*p/3 * (-3p)^(1/2) + q² = 4*p^3/27+q²

donc m*M=4*p^3/27 + q^2

pour le c) il faut faire comme indique par FLo 64 (message 05/04 a 14h17)


pour x^3+bx²+cx+d=0
"changement d'inconnu
on pose x=X-b/3"

pour se ramener a : X^3 +p*X + q =0

exemple :

la premiere :

x^3 - x² + 2x - 7 = 0

x=X+1/3

donc x^3 - x² + 2x - 7=(X+1/3)^3 -(X+1/3)² +2*(X+1/3)-7=X^3+5X/3-173/27

donc p>0 ni minimum ni maximum.
on ne peut pas conclure en utilisant 2.
il faut revenir a une etude (tres simple et rudimentaire) de f definie par :
f(X)=X^3+5X/3 -173/27
donc f'(X)=3*X^2+5/3>0
donc f est strictement croissante sur R.
comme lim f(X)=-oo
X->-oo
et lim f(X)=+oo
X->+oo
on n' a qu'une solution pour l'equation f(X)=0.

consequence : x^3 - x² + 2x - 7 = 0 n'admet qu'une solution dans R.