Bonjour, je ne comprend vraiment rien allons y étape par étape merci
Une entreprise cultive et récolte du café.
Chaque année, suivant les conditions météorologiques, elle produit entre
1 et 12 tonnes de café.
Pour une production de x tonnes de café, le coût total de production, en
euros, est donné par la fonction C définie sur l'intervalle [1 ; 12] par:
C(x )=x3−12 x2+72 x.
1) La fonction coût total
a) Déterminer C ' (x) . Étudier le signe de C ' (x) sur l'intervalle
[1 ; 12].
b) En déduire que la fonction C est croissante sur l'intervalle [1 ; 12].
2) La fonction coût moyen
Le coût moyen de production est le coût par unité produite. C'est le rapport entre le coût total de production
C(x ) et la quantité produite x. On note CM la fonction coût moyen.
a) Montrer que CM ( x)=x2−12 x+72
b) Déterminer la dérivée C 'M (x ) de la fonction coût moyen.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction CM .
d) Pour quelle quantité x0 de café produite le coût moyen est-il minimal? `
e) Vérifier que la tangente à la courbe représentative de la fonction C au point d'abscisse x0 passe par
l'origine du repère.
3) La fonction coût marginal
Le coût marginal est le coût de production engendré par la production d'une unité supplémentaire.
En pratique, on assimile le coût marginal à la dérivée du coût total. On note Cm la fonction coût marginal.
Ainsi, Cm=C' .
a) Exprimer Cm( x) en fonction de x.
b) Déterminer C 'm(x ) .
c) Dresser le tableau de variation de la fonction Cm .
d) Calculer Cm( x0) et vérifier que Cm( x0)=CM (x0)
e) À l'écran de la calculatrice, en précisant la fenêtre choisie, tracer les courbes représentatives des fonctions C,
Cm et CM sur l'intervalle [1 ; 12], et les reproduire sur la feuille.
4) Généralisation
De façon générale on note C une fonction coût total définie sur [0; +∞ [.
Sachant que, pour tout nombre réel x>0 , CM ( x)=
C( x)
x , exprimer C 'M (x ) en fonction de C(x ) , Cm( x)
et x.
Démontrer que C 'M (x ) s'annule si, et seulement si, Cm( x)=CM (x ) .