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DM maths Suite de Fibonacci
Bonjour à tous, j'ai un DM à rendre pour le 6 janvier 2015 mais je compte le faire à l'avance pour en être débarrassé. Voici l'énoncé : (il est assez long)
"Supposons qu'un couple (un mâle et une femelle) de lapin naisse au début de l'année (mois 0), avec les hypothèses théoriques suivante :
- La maturité sexuelle du lapin est atteinte après un mois qui est aussi la durée de gestation;
- Chaque portée comporte toujours un mâle et une femelle;
- Les lapins sont immortels...
--> Combien y'aura t-il de lapin après 1 an ?"
Ainsi comme l'indique le schéma ci-contre, au mois 1, le couple a simplement grandi et a atteint sa maturité sexuelle;
Au mois 2, le couple donne naissance à un nouveau couple;
Au mois 3, le "vieux" couple donne naissance à un troisième couple alors que le couple de la 1ère génération grandit et arrive à maturité sexuelle...
Notons un le nombre de couple au mois n.
On a donc u0=1; u1=1; u2=2 et u3=3.
1/ a) Déterminer u4 et u5. Justifier.
b) il devient assez vite difficile de suivre la prolifération des lapins : il vaut mieux s'interroger, plus généralement sur ce qui se passe à un mois donné par rapport aux deux mois précédents.
Justifier la formule de récurrence un+2 = un+1 + un.
c) A l'aide de la formule de récurrence précédente, calculer rapidement u5 et u6.
2/ a) Ecrire avec Algobox, un programme permettant de dénombrer les couples de lapins au bout de n mois.
On utilisera la formule de récurrence ainsi que l'état initial u0=1 et u1=1.
b) Répondre au problème posé par Fibonacci.
c) Combien de couples de lapin obtiendrait-on au bout de 2 ans ?
3/ a) Modifier l'algorithme précédent pour déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre total de couple de lapin aura atteint au moins un nombre donné.
b) Déterminer le nombre de mois nécessaire pour obtenir au moins un milliard de lapins.
Ce que j'ai fait :
1/ a) u4=5 (d'après le schéma) et u5=8 (d'après le schéma)
b) Pas compris
c) Pas compris
2/ a) Je pensais utiliser la boucle "pour i allant de... à..."
puis je peux pas faire la suite sans cette algorithme...
Merci de m'aider
salut
A la fin du 1er mois 1 couple (le couple de départ C1)
à la fin du 2ieme mois 2 couples (C1 et les nouveaux-nés C2)
à la fin du 3ieme mois 3 couples (C1 et ses derniers nés: C3 + C2 à maturité)
à la fin du 4ieme mois 5 couples (C1 et ses derniers nés: C4 + C2 et ses derniers nés: C5 + C3 à maturité)
à la fin du ieme mois 8 couples (C1 et ses derniers nés: C6 + C2 et ses derniers nés: C7 + C3 et ses derniers nés; C8 + C4 et C5 à maturité)
on a par exemple le nbr de couples à la fin du 4 ieme mois est égale au nbr de couples fin du 3ieme mois + nombre de couples fin du 2ieme mois on plus generalement on voit vite que Un+2 = Un+1+ Un
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