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DM proba

Posté par
456DEF 26-12-20 à 11:22

Bonjour, j'ai un DM sur les probabilité à rendre pour le **/**/**** mais le problème c'est que je n'arrive pas à le terminer car je bloque à certaines questions. Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Enoncé :
Dans une entreprise, on fait appel à un technicien lors de ses passages hebdomadaires, pour l'entretien des machines.
Chaque semaine, on décide donc pour chaque appareil de faire appel ou non au technicien.
Pour certain type de machines, le technicien constate :
- qu'il doit intervenir la premiere semaine,
- que s'il est intervenu la n-ième semaine, la probabilité
   qu'il intervienne la (n+1)-ième semaine est égale à 3/4,
- que s'il n'est pas intervenu la n-ième semaine, la
   probabilité qu'il intervienne la (n+1)-ième semaine est
   égale à 1/10.
Pour tout entier n non nul, on désigne par En l'évènement : " Le technicien intervient la n-ième semaine " et par Pn la probabilité de cet évènement En

1. Indiquer les valeurs de P1=P(E1), PEn(En+1) et P\bar{E_{n}}(En+1)
Ici, je ne comprend pas ce qu'il faut faire

2.a) Compléter l'arbre ci-dessous (n1):
Voir la photo jointe

b) Prouver que pour tout entier n non nul, Pn+1= \frac{13}{20}P_{n}+\frac{1}{10}

Formule des probabilités totales
[bleuP_{n+1}=P(E_{n}\bigcap{E_{n+1}})+P(\bar{E_{n}}\bigcap{E_{n+1}})= \frac{3}{4}P_{n}+\frac{1}{10}(1-P_{n})=\frac{3}{4}P_{n}+\frac{1}{10}-\frac{1}{10}P_{n}
[/bleu]
Donc Pn+1=\frac{13}{20}P_{n}+\frac{1}{10} n

3) Monter par récurrence que, n, Pn=\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n+1}
Pn=\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n+1}
initialisation: P1: \frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{0} =\frac{8}{7}
APRES JE NE SAIS PAS

4) Calculer la probabilité que le techicien intervienne la 6-ième semaine. Arrondir à 10^{-3}
10^{-3}
Là je ne sais pas ce qu'il faut faire

Mes réponses sont en bleues. J'espère que vous allez pouvoir m'aider et merci d'avance.

DM proba

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 11:37

bonjour

ton arbre est correct

1)  p1 = ...
le technicien constate  qu'il doit intervenir la premiere semaine, donc...?

3) pars de 2b) et utilise le Pn de ton hypothèse de récurrence

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 11:55

tu veux bien vérifier ton énoncé s'il te plait ?

3) Monter par récurrence que, n, Pn=\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n+1}

ce ne serait pas plutot : P_n = \frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^\color{red}{n-1} ?

Posté par
456DEFre : DM proba 26-12-20 à 11:56

1) P(E1)= P1 mais je n'ai pas de valeur
PEn(En+1)=3/4
P\bar{En}(En+1)=1/10

3)D'accord mais pour montrer que l'initialisation est vraie il faut que la valeur de P1 soit la même que Pn+1, e c'est la que je ne sais pas comment monter

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 11:57

et donc revois aussi l'initialisation.

Posté par
456DEFre : DM proba 26-12-20 à 11:57

carita @ 26-12-2020 à 11:55

tu veux bien vérifier ton énoncé s'il te plait ?

3) Monter par récurrence que, n, Pn=\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n+1}

ce ne serait pas plutot : P_n = \frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^\color{red}{n-1} ?
  
Oui c'est ça je me suis trompée désolée

Posté par
456DEFre : DM proba 26-12-20 à 11:59

carita @ 26-12-2020 à 11:57

et donc revois aussi l'initialisation.

Ok mais je ne sais pas comment pourriez vous me donner le commencement s'il vous plait juste l'initialisation

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 12:01

1)
P1 : si ! on te "donne" sa valeur dans l'énoncé :
"'il doit intervenir la première semaine", donc événement certain, donc proba = ..?

pour les 2 autres, non, les probas seront exprimées en fonction de Pn. (voir ton arbre)

en fait,  PEn(En+1) et P\bar{E_{n}}(En+1), tu les as déjà trouvées : tu les as utilisées en 2b) lors de ton calcul de la proba totale.

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 12:07

initialisation

on sait que P1 = ...? voir question1)

par ailleurs P_n = \frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^\color{red}{n-1} ,
pour n=1, devient P1 = ....?

tu dois trouver le même résultat.

==> avant de te lancer dans l'hérédité, je te conseille de rédiger proprement l'introduction de ta démo :
- définirla proposition à démontrer P(n)
- ainsi que celle que tu veux obtenir P(n+1)
cela te permettra de voir clairement où tu dois arriver

si besoin : Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 12:30

après lecture plus attentive de ma part...

456DEF @ 26-12-2020 à 11:56

1)...
PEn(En+1)=3/4
P\bar{En}(En+1)=1/10

tu as raison, il s'agit des probabilités conditionnelles, notées sur les branches secondaires de ton arbre.

Posté par
456DEFre : DM proba 26-12-20 à 12:35

1) P1=1 comme obligation
PEn(En+1)=3/4 Pn
P\bar{E_{n}}(En+1)=1/10(1-Pn)=1/10-1/10Pn

2) Ah j'étais bloquée parce que je n'avais pas la valeur de la question 1
Ducoup
Pn:" P_n = \frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n-1}"
Initialisation : P1 : P1=\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{1-1}=1 comme vu à la question 1,  p1 =1 donc P1 est vraie

Hérédité : Supposons que Pn est vraie au rang n montrons alors que Pn+1 est vraie soit  P_n = \frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n+1-1}

On a : Pn+1= \frac{13}{20}P_{n}+\frac{1}{10}


                          = \frac{13}{20}(\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n-1})+\frac{1}{10}


                          =\frac{13}{70}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n}+\frac{1}{10} \\ \\ =\frac{2} {7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n}
Donc Pn+1 est vraie.

Conclusion: Pn est initialisée au rang 1 et héréditaire donc n, Pn est vraie

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 12:46

voir mon message précédent :
PEn(En+1)=3/4
P\bar{En}(En+1)=1/10
désolée

ok pour l'hérédité

4) Calculer la probabilité que le technicien intervienne la 6-ième semaine

en 3) tu as établi une relation directe entre le n° de semaine et la proba d'intervention
donc tu l'utilises  :  P6 = ...?

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 12:50

une remarque pour l'énoncé de la question 3)

3) Monter par récurrence que, n, Pn=\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n+1}

==> ce n'est pas plutôt N* ?  (entier naturel non nul)

Posté par
456DEFre : DM proba 26-12-20 à 13:25

carita @ 26-12-2020 à 12:46

voir mon message précédent :
PEn(En+1)=3/4
P\bar{En}(En+1)=1/10
désolée

ok pour l'hérédité

4) Calculer la probabilité que le technicien intervienne la 6-ième semaine

en 3) tu as établi une relation directe entre le n° de semaine et la proba d'intervention
donc tu l'utilises  :  P6 = ...?


Pour la question 1 j'avais vu votre rectification après vous l'avoir envoyé d'ailleurs merci
Pour la 4 : P6=\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{6-1}0,369

Posté par
456DEFre : DM proba 26-12-20 à 13:26

carita @ 26-12-2020 à 12:50

une remarque pour l'énoncé de la question 3)

3) Monter par récurrence que, n, Pn=\frac{2}{7}+\frac{5}{7}*(\frac{13}{20})^{n+1}

==> ce n'est pas plutôt N* ?  (entier naturel non nul)

Oui c'est bien ça je me suis trompée

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 14:08

0.369 je trouve comme toi.
et vu pour N*.

bonne continuation

Posté par
456DEFre : DM proba 26-12-20 à 14:23

Merci beaucoup pour votre aide j'espère à bientôt
Bonne fête de fin d'année

Posté par
caritare : DM proba 26-12-20 à 14:27

Bonnes fêtes à toi aussi.
à une prochaine fois !


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