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DM Probabilités
bonjour,
j'ai un dm de maths à faire et j'aurais besoin d'aide.
voici le sujet:
Un ibis (sacré) se déplace sur les arrêtes de la pyramide SABCD (de sommet S). Depuis un sommet quelconque, il se dirige au hasard (on supposera qu'il y a équiprobabilité) vers un sommet adjacent. Initialement l'ibis se trouve en A.
1- Déterminer la probabilité qu'il se trouve en S après 5 déplacements.
2- On appelle Pn la probabilité que l'ibis se trouve en S après n déplacements. Que peut-on prévoir concernant la limite de Pn ?
La solution peut prendre diverses formes : solution exacte, simulation par ordinateur pour obtenir une valeur approchée etc.
J'ai commencé la première question en faisant un arbre mais c'est assez long. Auriez-vous une autre idée ?
Merci d'avance pour vos réponses
Bonjour,
1) Le nombre de chemins de longueur 5 est de
Soit le nombre de chemins de longueur
qui retournent au sommet
(essaie de voir pourquoi).
et donc
avec
On obtient
2) Tu peux déterminer le terme général de
Soit l' évènement " l' Ibis (sacré) est au sommet
au bout de
pas"
L' évènement survient lorsque l' Ibis (sacré) n' est pas au sommet
au bout de
pas
avec
On trouve (curieusement le même résultat que plus haut)
et
La limite est
Es-tu d' accord avec ça:
Soit
L' évènement
?
Alors (définition des probabilités conditionnelles).
Or la probabilité de l' évènement sachant que
est réalisé (à l' étape
, l' Ibis (sacré) est en
ou
ou
ou
) est
et
Du coup,
avec
On peut calculer ensuite de proche en proche avec cette formule de récurrence et enfin
On obtient bien
L' Ibis (sacré) est en A ou en B ou en C ou en D.
De chacun de ces 4 sommets, il a 3 chemins possibles donc 12 au total.
De chacun de ces 4 sommets, il a un chemin pour aller en S donc 4 au total.
Il est donc possible ou impossible que l'ibis arrive en S avant le 5eme déplacement pour y revenir au 5 ème ?
Plus exactement, un chemin de 5 pas menant de à
peut (ou non) comporter le sommet
(mais pas en avant dernière position).
Soit
L' évènement
On trouve
et
La limite est
ceci est donc pour la question 2 si je comprends bien ?!
Je ne suis pas sur qu' un arbre (qui doit tout de même être bien touffu) soit la bonne solution...
En tout état de cause, tu dois tomber sur
Y es-tu parvenue ?
Pour la suite , on a donc:
- On utilise une suite auxiliaire définie par
- On montre que est géométrique.
- On détermine le terme général de
- Puis celui de avec
Sans rentrer dans les détails, pour ce genre de suites définies par récurrence de la manière suivante:
avec
et
réels donnés;
si , on pose
et on montre que
est géométrique.
Ici, avec , on a
et
et
On pose donc
est donc une suite géométrique de raison
et de premier terme
Du coup,
et
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