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DM sur l'octaèdre
Bonjour (et bonne année 
),
J'ai un DM sur les polyèdres qui me pose problème. Je bloque en fait à la question : Démontrer qu'on peut trouver deux faces parallèles dans un octaèdre régulier. Quelle est la distance entre les plans de ces deux faces parallèles ?
--> J'ai nommé ABCDEF un octaèdre avec BCDE la base commune des deux pyramides "collées" (enfin, c'est comme ça que je le vois), pour montrer que les faces (ABC) et (FED) sont parallèles.
--> J'ai prouvé que les triangles ADC, ACB, ABE, AED, FDC, FCB, FBE et FED (toutes les faces de l'octaèdre en fait)sont des triangles équilatéraux isométriques, d'après la propriété des polyèdres réguliers. De là, j'ai déduis que et
sont égaux (=180/3 =60°). Donc ils sont alternes-internes ce qui veut dire que (ABC) et (FED) sont parallèles.
Je ne sais pas vraiment si c'est correct... et pour la distance entre les plans, je ne vois pas comment la calculer.
Merci d'avance pour votre aide .
? Merci.Sinon j'ai pensé tout à l'heure à une autre méthode :
--> Sur le même octaèdre, on a bien (AC) et (BC) sécantes sur le même plan (ABC) et de même (ED) et (EF) sécantes sur le même plan (EDF).
--> Selon la propriété des polyèdres réguliers, toutes les arêtes de l'octaèdre ont la même mesure. DONC :
- comme ED=DC=BC=EB, on en déduit que BCDE est un losange, donc ses côtés opposés sont parallèles : (EB)//(DC) et (BC)//(ED).
- comme AC=EA=EF=FC, on en déduit idem que AEFC est un losange, donc ses côtés opposés sont parallèles : (EA)//(FC) et (EF)//(AC).
--> Or (propriété) : pour que deux plans soient parallèles, il suffit que l'un d'eux contienne deux droites sécantes parallèles à l'autre.
DONC, on a bien les plans (ABC) et (FED) parallèles, donc on peut trouver deux faces parallèles dans un octaèdre.
C'est mieux ?
Et je ne sais toujours pas pour la distance entre les faces...
bonjour
ta dernière méthode est bien (la première, bof : tu parlais d'angles alternes internes avec des points non coplanaires ...)
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