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DM sur la composée de deux homothéties

Posté par xav89 (invité) 05-02-06 à 22:11

Salut à tous,
voila mon prof de maths nous a filé un DM (niveau Term S d'après ce que j'ai pu voir ailleur alors que je suis seulement en premièreS) :
Soit A et B 2 points différents du plan,
h1, l'homothétie de centre A rapport 2
h2, l'homothétie de centre B rapport 1/4
et la question : déterminer la nature précise de h2oh1
merci d'avance...:?

Posté par
muriel Correcteurre : DM sur la composée de deux homothéties 05-02-06 à 22:25

bonsoir ,
tu sais ce n'est pas parce que tu as vu cet exercice au niveau tle s qu'il est obligatoirement du niveau TlS
et puis si c'est vraiment le cas, cela signifie que votre prof juge que vous avez un bon niveau et qu'il veut vous "pousser" à vous dépasser (c'est plus tôt positif ce genre de chose )

normalement, tu as du voir les homothéties, les translations (cela c'est sûre)
et la composée de deux homothéties, non?

dans le cas contraire (pour le dernier point), tout d'abord fait une figure, et recherche quelques images de points, cela va te permetre d'avoir une idée de ce que tu cherches : est-ce que cela ressemble à une homothétie ? à une translation ? à une rotation ? à une symétrie axiale ? ...

après c'est à toi de travailler pour essayer de montrer tes conjectures (c'est à dire ce que tu viens de penser juste avant et ne me dit surtout pas que tu ne penses à rien ).

Posté par xav89 (invité)re : DM sur la composée de deux homothéties 05-02-06 à 22:32

Tout d'abord, merci d'avoir répondu si vite,
j'avais déjà fait un dessin, et d'après celui ci, le centre de l'homothétie h (h = h1oh2) est sur la droite (AB) et a pour rapport 1/2 (k * k').

C'est tout ce que j'ai remarqué, j'ai cherché un bon moment cet après midi la démonstration, mais maintenant je sèche

Posté par
muriel Correcteurre : DM sur la composée de deux homothéties 05-02-06 à 23:30

ok
mais qu'est-ce que k et k' ? je suppose que k est le rapport de l'homothétie h1et k' celui de h2

si tu supposes que h = h1oh2 est une homothétie, alors il faut trouver le centre, noté O, et le rapport, noté k", de cette homothétie.
cherchons d'abord le rapport (en supposant que c'est bien une homothétie)
soit deux points M et N, notons M2 et N2 les images de M et de N par h2
et M1 et N1 les images de M2 et de N2 par h1
ainsi :
\begin {tabular}{ccccc}\;&h2&\;&h1&\;\\M&\to&M2&\to&M1\\\end{tabular}
ce qui se traduit par :
\vec{AM1}\;=\;2\vec{AM2}
et
\vec{BM2}\;=\;\frac{1}{4}\vec{BM1}
\begin {tabular}{ccccc}\;&h2&\;&h1&\;\\N&\to&N2&\to&N1\\\end{tabular}
ce qui se traduit par :
\vec{AN1}\;=\;2\vec{AN2}
et
\vec{BN2}\;=\;\frac{1}{4}\vec{BN1}

et on a aussi :
\begin {tabular}{ccccc}\;&\;&h&\;&\;\\M&\;&\to&\;&M1\\\end{tabular}
ce qui se traduit par :
\vec{OM1}\;=\;k
et
\begin {tabular}{ccccc}\;&\;&h&\;&\;\\N&\;&\to&\;&N1\\\end{tabular}
ce qui se traduit par :
\vec{ON1}\;=\;k

ainsi on a :
\vec{M1N1}\;=\;k
(propriété des homothéties que tu dois surement avoir dans ton cours, je pense )
\vec{M1N1}\;=\;k
d'où k" = \frac{2}{4}\;=\;\frac{1}{2}

maintenat il te reste, à trouver le centre de ton homothétie.

soit M un point du plan, on a alors M2 l'image de M par h2
et M1 l'image de M2 par h1
ainsi :
\begin {tabular}{ccccc}\;&h2&\;&h1&\;\\M&\to&M2&\to&M1\\\end{tabular}
ce qui se traduit par :
\vec{AM1}\;=\;2\vec{AM2}
et
\vec{BM2}\;=\;\frac{1}{4}\vec{BM1}

mais on a aussi :
\begin {tabular}{ccccc}\;&\;&h&\;&\;\\M&\;&\to&\;&M1\\\end{tabular}
ce qui se traduit par :
\vec{OM1}\;=\;k

(attention, ce que je suis entrain d'écrire peut s'avérer faux, parce que je réfléhsi en même temps )
introduisons le point A dans le vecteur \vec{OM1}, vu que le lien utilisant le point M1 fait intervenir le vecteur \vec{AM1}
\vec{OM1}\;=\;\vec{OA}\;+\;\vec{AM1}\\\;=\;\vec{OA}\;+\;2\vec{AM2}

maintenant, essayons intoduisons le point B vu qu'on a \vec{BM2}\;=\;\frac{1}{4}\vec{BM1} et que c'est le seul lien utilisant le point M2 :
\vec{OM1}\;=\;\vec{OA}\;+\;2\vec{AM2}\\\;=\;\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;2\vec{BM2}\\\;=\;\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{2}{4}\vec{BM}\\\;=\;\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{1}{2}\vec{BM}

enfin on va introduire le point O pour revenir au lien de départ :
\vec{OM1}\;=\;\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{1}{2}\vec{BM}\\\;=\;\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{1}{2}\vec{BO}\;+\;\frac{1}{2}\vec{OM}\\\;=\;k''\vec{OM}\\\;=\;\frac{1}{2}\vec{OM}

d'où si on a :
\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{1}{2}\vec{BO}\;=\;\vec{0}

on a gagné, on aura trouver notre homothétie.
il te reste à montrer ce dernier point : que le pont O' défini par
\vec{O'A}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{1}{2}\vec{BO'}\;=\;\vec{0}
(tu peux peut-être arranger cette dernière ligne pour définir un peu plus joliment ton point O' )
est fixe par l'homothétie de centre O et de rapport \frac{1}{2}
Je te laisse faire tous les calculs, normalement il ne devrait pas avoir de problème.
Ainsi tu viens de montrer O = O'.

tu as montré que l'homothétie de centre O défini par la relation ... et de rapport 1/2 transforme un point M en un point M' tel que M' est l'image de M par h1°h2.

J'espère que tu as tout compris, parce que c'est surtout le raisonnement qu'il faut comprendre plus que les différents calculs.

Posté par xav89 (invité)re : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 08:20

Salut Muriel,
merci beaucoup, je pense avoir à peu près compris, mais je vais bien le reprendre tout à l'heure pour vérifié et essayé de le refaire

Posté par
muriel Correcteurre : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 10:20

ok
de rien
et je rappelle que c'est surtout la recherche qui prime ici, plus que la technique

Posté par
littleguyre : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 15:44

Bonjourà tous.

Dans la même "philosophie" que celle préconisée par Muriel (qui dans son enthousiasme a laissé quelques surprises comme des égalités entre vecteurs et réels, les risques de latex ) , on pourrait également envisager ceci pour un élève de 1ére qui ne connaît guère que translations, rotations et homothéties, mais a aussi des connaissances sur les barycentres :

1) Cherchons s'il existe des points invariants par l'application en question (histoire de voir plus clair et de déblayer le terrain) :

Notons M' l'image de M par h1 et M" l'image de M' par h2
On a : \vec{AM'}=2\vec{AM} et \vec{BM''}=\frac{1}{4}\vec{BM'}

M invariant ssi M"=M' donc ssi \vec{BM}=\frac{1}{4}\vec{BM'}, ce qui en utilisant Chasles conduit à \vec{MA}=3\vec{MB}

Il existe donc un seul point invariant : le point I barycentre des points (A,1),(B,-3), ce qui vire d'entrée l'hypothèse de la translation.

2) Quelques essais de figure font plutôt penser à une homothétie (nécessairement de centre I) et on dirait bien que le rapport est 1/2 ou pas loin. Conjecture à démontrer...

Si on arrive à démontrer que quel que soit M, I est barycentre de M et de M" avec des coefficients fixes, c'est gagné. On essaie.

3) \vec{BM''}=\frac{1}{4}\vec{BM'} donc M" est le barycentre de (B,3),(M'1).

En utilisant l'associativité du barycentre on obtient M" barycentre de (A,1),(I,2),(M'1),
puis avec la même propriéte M" barycentre de (M,2),(I,2),ce qui prouve que M" est le milieu de [MM"], et par là-même que M" est l'image de M par l'homothétie de centre I et de rapport 1/2.

Tout ceci dans la même idée de recherche lancée par Muriel, et aux risques de fautes de frappes et/ou d'incongruités...

Posté par
muriel Correcteurre : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 18:29

merci littleguy , je n'avais pas eu l'envie de tout relire

Posté par xav89 (invité)re : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 19:49

:?
Bonjour,
vous pouvez m'expliquez comment vous faites, j'arrive pas à comprendre et au fait Muriel j'ai essayé de bien comprendre ta méthode mais il me semble que tu as fais avec h1oh2 alors que mon sujet c'est h2oh1 et j'ai bien l'impression que cela change tout et du coup je n'arrive pas à le refaire
et merci beaucoup de m'aider!!!

Posté par
muriel Correcteurre : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 20:17

pardon, en effet, j'avais lu h1 ° h2
mais le raisonnement est toujours le même

où bloques tu ?

Posté par xav89 (invité)re : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 20:38

déja je ne vois pas pourquoi on dit que :
vecteur AM1 = 2* vecteur AM2 (désolé, je ne sais pas faire les symboles), ce qui signifierait que ces 2 vecteurs sont colinéaires et les 3 points sont alignés

Puis, pourquoi :
h(M) = M1 se traduit par vecteur OM1=k.
Moi d'après mon cours, je dis vecteur OM1 = k*vecteur OM.
de même pour le point N.
et donc je ne comprends pas la suite vecteur M1N1 = k

et " d'où k" = 2/4 = 1/2

Posté par
muriel Correcteurre : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 21:01

c'est le problème que littleguy a signalé, ave la programmation en latex, j'ai oublié une partie de l'agalié
ou plutôt j'ai mis des " et le latex m'a fait disparaître le reste de mon égalité

\vec{AM1}\;=\;2\vec{AM2}, c'est la traduction de l'image M1 de M2 par l'homothétie de centre A et de rapport 2.

h(M)=M1 par définition, cela revient à écrire :
\vec{OM1}\;=\;k''\vec{OM}


ensuite, tu devrais avoir dans on cours :
\vec{M1N1}\;=\;k''\vec{MN}

si cela tu ne l'as pas, voilà une démonstration de ce que j'avance :
\vec{M1N1}\;=\;\vec{M1O}\;+\;\vec{ON1}\\\;=\;k''\vec{MO}\;+k''\;\vec{ON}\\\;=\;k''\vec{MN}

est-ce que tu comprends mieux, maintenant ?

Posté par
muriel Correcteurre : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 21:08

à oui, dernier point :
tu as \vec{M1N1}\;=\;k''\vec{MN}
et
\vec{M1N1}\;=\;\vec{M1A}\;+\;\vec{AN1}\\\;=\;2\vec{M2A}\;+\;2\vec{AN2}\\\;=\;2\vec{M2N2}\\\;=\;2\vec{M2B}\;+\;2\vec{BN2}\\\;=\;\frac{2}{4}\vec{MB}\;+\;\frac{2}{4}\vec{BN}\\\;=\;\frac{2}{4}\vec{MN}

d'où pour tout point M et N, on a :
\{\vec{M1N1}\;=\;k''\vec{MN}\\\vec{M1N1}\;=\;\frac{2}{4}\vec{MN}
ce qui permet de dire que k''\;=\;\frac{2}{4}
(pour le prouver, il te suffit de soustraire membre à membre les deux égalités )

Posté par xav89 (invité)re : DM sur la composée de deux homothéties 06-02-06 à 22:03

Merci beaucoup Muriel, j'ai réussi à tout refaire en fonction de h2oh1 et par cette manière j'ai réussi à comprendre ta méthode. Par contre il y a un dernier point que je ne comprends pas, pourquoi insère-t'on un point O' à la fin, il ne suffirait juste pas de trouver une relation entre le point O et le vecteur AB ?

Posté par
muriel Correcteurre : DM sur la composée de deux homothéties 07-02-06 à 16:30

j'insers le point O' à la fin, pour montrer que mon point O déjà défini vérifie cette égalité.

ton point O est défini en tant que point seul point invariant de l'homothétie, d'accord ?
tu obtiens cette égalité :
\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{1}{2}\vec{BO}\;=\;\vec{0}

mais qui te dit qu'un point défini par cette égalité sera invariant par l'homothétie ?

c'est pour cela que je t'ai demandé de vérifier que si on a :
"O invariant par l'homothétie h" implique "\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{1}{2}\vec{BO}\;=\;\vec{0}"

alors on aura :
"\vec{OA}\;+\;2\vec{AB}\;+\;\frac{1}{2}\vec{BO}\;=\;\vec{0}" implique "O invariant par l'homothétie h".

voilà


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