Bonjour,

Vous avez déjà commencé quelque chose ? Pour f(0), il faut remplacer dans la fonction donnée et puis résoudre une petite équation : f(1)= f(1)f(0)+f(1)+f(0). Comme vous connaissez f(1) le tour est joué !

Bonjour,

c'est plus du bon sens que du "cours" !!

a. Calculer f (0) ( on pourra poser n=0 et m=1 )
l'énoncé dit comment faire !!!

on a donc f(1+0) = f(0)xf(1) + f(0) + f(1)
réfléchis et trouve f(0) vu que tu connais f(1) (énoncé)
si tu es aveuglé par l'écriture f(...)
pose f(1) = 1 (c'est écrit dans l'énoncé) et f(0) = X (ce que tu cherches
1 = X*1 + X + 1
que vaut X ?


la b est du même genre avec d'autres valeurs à choisir judicieusement pour m et n
aucun cours ne les donnera, c'est avoir de l'imagination et du bon sens

Bonjour, merci pour vos réponses, nous avions chercher et nous avions des pistes comme sa mais nous étions pas sur.
Nous avons aussi d'autres questions :
2) montrer que, pour tout entier naturel n, f (x+1)=2f (n)+1
3) on pose pour tout entier naturel n, g (n)=f (n)+1 montrer que pour touson les entiers naturels n et m :
g (n+m) = g (n)xg (m )
4) donner une fonction f qui répond au problème (justifiez)

Pour la 2 ème question nous croyons avoir trouver, nous avons fait :
f (n+1)=f (n)x 1 +f (n) + 1
               =f (n) +f (n) +1
               =2 f (n)+1
Pour les 2 autres questions nous sommes un peu perdu 🤔

dans toutes ces questions c'est beaucoup du remplacement !

2) OK
3) g(n+m) est par définition f(n+m) + 1

4) là c'est un peu d'imagination en utilisant la fonction g qui est "plus simple" :
imaginer une fonction g qui convient à g(n+m) = g(n)xg(m)
pour cela calculer g(0) et g(1)
penser aux règles de calcul sur les exposants.

en déduire la fonction f par g(n)= f(n)+1 et donc f(n) = g(n) - 1

Nous n'avons pas vraiment compris votre réponse à la question 3 😊

c'est du simple remplacement

si pour tout n on a par définition g(n) = f(n)+1
"pour tout n" veut dire que j'ai le droit de remplacer n par n'importe quoi
par exemple par u
g(u) = f(u) + 1

ou même par "formellement" "n+m"
g(n+m) = f(n+m) + 1

et comme f(n+m) on sait le calculer (c'est la définition de f !!) etc
et ensuite on revient aux g(n) et g(m) par l'opération inverse :
puisque g(m) = f(m) + 1 c'est que f(m)= g(m) - 1
il suffit de remplacer f(m) et f(n) par ces expressions "en g" et de simplifier tout ça pour terminer la question 3

Nous avons fait g( (f (m)+1)+(f (n)+1) = g ((f (n)+1) x f (m)+1) mais nous sommes bloquer et on ne sait pas si on est sur la bonne piste, pouvez-vous nous éclairer ?

g de f ?????
faut pas pousser ! c'est bien plus simple que ça !
c'est comme j'ai dit.

des g(m), et des f(m), (séparément) et rien que ça
pas de g(f(m)) ou je ne sais quelles horreurs monstrueuses et indémerdables.

par ailleurs tu sembles avoir un énormee problème de logique fondamentale sur ce qu'est une démonstration en général

on cherche à démontrer une égalité A = B (ici A c'est g(m+n) et B c'est g(m)g(n))

on ne commence pas par écrire cette égalité comme si c'était vrai !!!
grossière erreur de logique

la bonne méthode est de calculer A tout seul (développer transformer etc)
et de transformer ce A tout seul jusqu'à ce que l'enchainement des calculs aboutisse à B
alors là, on aura démontré

variante : on part de B pour aboutir à A

autre variante : on part de A dans un sens pour aboutir à X et on part de B dans l'autre sens pour aboutir à ce même X

exemple : prouver que 2x² + x - 3 = (2x+3)(x-1)

on ne peut pas écrire cette égalité tout de go vu qu'on n'en sait encore rien (qu'on demande de le démontrer)

je pars de (2x+3)(x-1) tout seul, je développe et je simplifie :

(2x+3)(x-1) = 2x² + 3x - 2x - 3 = 2x² + x - 3
miracle ; c'est l'expression A !
j'ai donc démontré que (2x+3)(x-1) est bien égal à 2x² + x - 3

ici ce sera pareil : on part de la seule et unique expression g(m+n) et on va la développer, la triturer jusqu'à (espérer) aboutir à g(m)g(n), et là ce sera démontré.

et point de g(f(..))

g(u) est par définition et rien que par définition (énoncé) f(u) + 1 quel que soit u
que ce soit m, n, m+n, 4m²+3p, n'importe quoi d'autre.


donc g(m+n) = f(m+n) + 1 point barre
il n'y a pas à compliquer quoi que ce soit en rajoutant une couche d'empilement de fonctions les unes dans les autres !

maintenant l'énoncé dit que f(m+n) = f(m)f(n) + f(m) + f(n) (définition)

je me contente de remplacer cette définition dans mon calcul, ce qui donne :

g(m+n) = f(m)f(n) + f(m) + f(n) + 1

et maintenant les f(m) et f(n) je les remplace par la définition inversée de g :
g(m) = f(m) + 1
ça veut dire f(m) = g(m) - 1
et pareil poiur f(n) = g(n) - 1

et donc je remplace et c'est tout :

g(m+n) = (g(m) - 1)(g(n) - 1) + (g(m) - 1) + (g(n) - 1) + 1

je développe ça et c'est fini.

Merci beaucoup pour votre aide bon week-end 😊