bonjour

1)
£(-x)=V(x²+1)-x
£(x)£(-x)=[V(x²+1)+x]*[V(x²+1)-x]
         =(V(x²+1))²-x²
         =x²+1-x²
         =1

2)£(x)£(-x)=1 donc¨£(x) et £(-x) sont de m^me signe
si x>=0 alors V(x²+1)+x>=0 donc £(x)>=0 et aussi £(-x)>=0
si x<=0 alors -x>=0 donc V(x²+1)-x>=0 donc £(-x)>=0 et aussi £(x)>=0

donc qq soit x £(x)>=0

3)£'(x)=x/V(x²+1) +1
       =(x+V(x²+1))/V(x²+1)
       =£(x)/V(x²+1)
qq soit x réel £(x)>=0 et V(x²+1)>=0 donc £(x)/V(x²+1) >=0 donc £'(x)>=0

donc £ est croissante sur R

4) a)x>=0

1>0 donc x²+1> x² donc V(x²+1)>=V(x²)  ; car la fonction racine carré est croissante sur R+
                  donc V(x²+1)>=|x|     ; car V(x²)=|x|
                  donc V(x²+1)>=x       ; car x>=0
                  donc V(x²+1)+x>=2x    ; en ajoute x à chaque membre de l'énégalité précédente
                  donc £(x)>=2x

b) lim(2x)=+oo en +oo et £(x)>=2x
d'après le th de comparaisons lim£(x)=+oo

5)x<0
a)
£(-x)=V(x²+1)-x
cette fois -x>0 et d'après 4a) £(-x)>=-2x

b)comme £(x)£(-x)=1 donc £(-x)=1/£(x) et en tenant compte de 5a) on a alors 1/£(x)>=-2x
la fonction inverse est décroissante dans R+ donc (1/(-2x))>=£(x)

d'après 2) £(x)>=0 donc

0<=£(x)<=-1/2x

x) lim(-1/2x)=0 en -oo et 0<=£(x) donc d'après th des gendarmes lim£(x)=0 en -oo

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voila

merci beaucoup tu ma vraiment donner un grand coup de pouce^^