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dm sur les matrices
Une certaine espèce de scarabée ne vit au maximum que 3 ans. Une année 0, on considère une famille de ces scarabées, composée de 3 groupes d'âges:
x sont dans leur 1ère année.
y sont dans leur 2ème année.
z sont dans leur 3ème année.
(avec x, y,z entiers naturels). On note cette composition par le vecteur-ligne X0=(x;y;z).
1.Un premier modèle:
On suppose qu'en moyenne:
- une moitié des scarabées meurt dans sa 1ère année.
- parmis les survivants, les deux-tiers meurent durant leur 2ème année.
- ceux qui restent la 3ème année, donnnent naissance à 6 scarabées avant de mourir.
a) Expliquer pourquoi au bout d'un an, la composition de la famille est donnée par le vecteur-ligne X1=(6z;1/2x;1/3y).
b) Vérifier que X1=X0*A où A est la matrice:
A de dimension 3*3=(...)
a11=0 a21=0
a12=1/2 a22=0
a13=0 a23=1/3
a31=6
a32=0 a33=0.
c) On suppose que X0=(1000;1000;1000). Calculer X1, X2, X3, X4.
Que constate t-on?
2. Un deuxième modèle:
On suppose que la mortalité des scarabées est régie par les mêmes lois qu'à la question 1. mais qu'en ce qui concerne les naissances:
-chaque scarabée vivant donne naissance à un scarabée durant sa 2ème année.
-chaque scarabée vivant donne naissance à 3 scarabées durant sa 3ème année.
a) Quelle est la matrice A telle que X1=X0*A?
b) Avec la calculatrice calculer jusquà X20.
Que peut-on conjecturer? Pouvez vous m'aider je bloque sur le problème.
Salut,
a) Puisque après une première année la moitier des x scarabées une moitier meurt cela signifie que l'autre moitier survie et passe donc en deuxième année. D'où en deuxième année on se retrouve de y à x/2 scarabée.
Tu as 1/3 des scarabées de deuxième année qui meurent, ainsi , l'année daprès (la troisième) il en restera y/3
Les scarabées de la troisième donnent tous naissances à 6 scarabées ainsi ils donnent naissances à 6z scarabées qui formeront la nouvelle première année.
b) C'est un simple calcul de produit de matrice?
X0=(1000;1000;1000).
X1=(6000,500,1000/3)
X2=(2000,3000,500/3)
X3=(1000,1000,1000)
X4=(6000,500,1000/3)
Alors si je me suis pas trompé c'est assez surprenant mais il semblerait que tout les 3ans le phénomène se répete et les scarabées évoluent de la même façon.
merci, cela m'a beaucoup aidé dans la résolution de ce Devoir Maison, je vais pouvoir alors rechercher par moi même le 2ème modèle et faire vérifier les résultats ensuite.
A= matrice de dimension 3*3
a11=0
a12=1/2
a13=0
a21=1
a22=0
a23=1/3
a31=3
a32=6
a33=0
Xo=(x;y;z)
Est ce que jeme suis trompé pour le 2ème modèle!!
je trouve alors que X1=(1/2x; 4/3y;9z). Est ce que je me suis trompé? mais par contre je n'ai pa compris comment il faut calculer X2 par exemple et x3?
oui pour X0
Dans le deuxième modèle on a:
- une moitié des scarabées meurt dans sa 1ère année.
- parmis les survivants, tous les scarabées donnent naissance à un autre scarabées et les deux-tiers meurent durant leur 2ème année.
- ceux qui restent la 3ème année, donnnent naissance à 3 scarabées avant de mourir.
Ce qui nous donne:
et désolé hier j'ai fait une erreur.
3z correspond au nombre de scarabées donné par les troisième année
+
y le nombre de scarabées données par les deuxième année
Ensuite
ça n'a pas changé la moitié des x scarabées sont mort donc l'autre moitié en vie en deuxième année on en a alors x/2 l'année d'après.
De même pour la dernière case.
la matrice A est fausse alors?
Comment il faut calculer X2 afin que je comprenne ensuite pour calculer jusqu'a X20?
Désolé mais:
prenons Xo=(1000;1000;1000)
X1=(4000,500,2000/3)
Eh j'avais pas vu j'ai fais une erreur sur X2 ,
j'avais pas relu le sujet et ma mémoire m'a fait défaut, c'est la première version que je t'ai donné de X2 qui est juste.Avec x/6 à la fin.
Non mais j'arrêtte pas enfin c'est du à la même erreur j'aurai du relire l'énoncé:
X1=(4000,500,1000/3)
Sauf erreurs.
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