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DM sur les suites

Posté par Sam2 (invité) 15-01-05 à 11:06

Bonjour!
J'aurais besoin d'aide sur cette exercice, je ne suis pas très fort sur les suites. La question 1 ça va, mais plus j'avance dans le problème, plus j'ai de problèmes!
Merci de m'aider!

Sur la figure ci-dessous, on considère la suite (u_n)n\in\mathbb{N}   des aires des parties grisées: ce sont les aires délimitées par deux demi-disques successifs; on suppose qu'on continue le processus de construction indéfiniment.
u_o est donc l'aire du demi-disque de diamètre 1.

1)Calculer u_o, u_1 et u_2

2)Soit (d_n )n\in\mathbb{N} , la suite des diamètres des différents cercles dessinés; d_0 est le diamètre du premier cercle dessiné
a) Ecrire d_{n+1} en fonction de d_n
b) Quelle est la nature de la suite  (d_n)n\in \mathbb{N} ? donner ses caractéristiques
c) Donner d_n en fonction de n

3) Soit (r_n)n\in\mathbb{N} , la suite des rayons des différents cercles dessinés, r_0 est le rayon du premier cercle dessiné
a) Donner r_n en fonction de n
b) En déduire a_n, l'aire du demi-disque de rayon r_n, en fonction de n

4)En utilisant la suite (a_n)n\in \mathbb{N} démontrer que u_n = /8 + /4 n

5)Déterminer la nature et les caractéristiques de la suite (u_n)n\in\mathbb{N}

6)Soit S = u_0 + u_1 +......+ u_20
Calculer S

Merci d'avance à ceux qui m'aideront

DM sur les suites

Posté par dolphie (invité)re : DM sur les suites 15-01-05 à 11:52

salut,

1. tu as réussi à le faire apparemment:
u0 = \frac{\pi\times(\frac{1}{2})^2}{2}
u0 = \frac{\pi}{8}
u1 = \frac{3\pi}{8}
u2 = \frac{6\pi}{8}

2.a) dn+1=dn+1
b) (dn) est donc une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme d0=1.
c)Ainsi:
dn= n+1. (d0+n*r avec r=1 et d0=1)

3.a) le rayon est la moitié du diamètre: rn=dn/2
d'ou:
rn=\frac{n+1}{2}

b)Aire du demi-disque de rayon n:
a_n = \frac{\pi \times r_n^2}{2}
a_n = \frac{\pi \times (n+1)^2}{8}

4. u_n=a_n-a_{n-1}
il suffit de remplacer par les expressions de an et an-1 pour trouver:
u_n=\frac{\pi(n^2+1+2n-n^2}{8}
u_n=\frac{\pi(1+2n}{8}
u_n=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}\times n

5. u_{n+1}-u_n= \frac{\pi}{4}(n+1)-\frac{\pi}{4}n=\frac{\pi}{4}
donc u est une suite ariuthmétique de raison \frac{\pi}{4} et de premier terme \frac{\pi}{8}

6. S = u_0+u_1+...+u_n
S = \frac{\pi}{8}\times (n+1)+\frac{\pi}{4}\times (0+1+2+...+n)

et 0+1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}

D'ou: S = \frac{\pi}{8}\times (n+1)+\frac{\pi}{4}\times \frac{n(n+1)}{2}
S = \frac{\pi}{8}\times (n+1)+\frac{\pi}{8}\times (n)(n+1)
S = \frac{\pi}{8}\times (n+1)(1+n)
S = \frac{\pi}{8}\times (n+1)^2


Posté par Sam2 (invité)Merci 15-01-05 à 13:09

C'est sympa de m'avoir aidé, je vais étudier tout ça.
Merci encore et bon week end!

Posté par dodidou77 (invité)j ai besoin d aide.. 16-01-05 à 14:38

bonjour et pardon de vous deranger, j'ai vu que vous etiez professeur et j'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour un exercice sur les equations differentielles..



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