On se propose de résoudre par une construction géométrique toute équation du second degré.
Soit ax²+bx+c (E). Dans un repère (O, i, j) orthonormal, on place les points I, A, B, C définis par (vecteur)OI=i ; (vecteur)IA=ai ; (vecteur)AB=bj ; (vecteur)BC= - ci
A tout point P de coordonnées (0 ; @), on associe le point N de la droite (BC) construit de la facon suivante. La droite (PI) coupe (AB) en un point M. La perpendiculaire en M à (PM) coupe (BC) en N.

1. Calculez les coordonnées de M puis celles de N.
2. Démontrez que N et C sont confondus équivaut à a@²+b@+c = 0
3. D’après la question précédente, les solutions de (E) sont les ordonnées des points P pour lesquels la construction précédente donne N=C. En supposant que N existe, justifiez que M appartient au cercle de diamètre [IC]. Décrivez comment vous construirez le ou les points P qui conviennent.
4. Appliquez cette méthode pour résoudre les équations suivantes.
a) 2x²-x-6 = 0
b) 4x²-3x+3 = 0
c) 8x²-2x-3 = 0
5. Retrouvez géométriquement la condition d’existence des racines d’une équation de second degré.

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