salut...j'aurais besoin d'aide pour mon devoir de math sil vous plait merci...
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d'objets.Chaque objet est vendu 100 euros.Le coût de production unitaire U(x) exprime le coût de production par objet produit.Exprimé en euros on a déterminé qu'il vérifie : U = x-10+(900/x) pour x appartenant à l'intervalle I=[10;100].
1)a-Etudier la fonction U ur l'intervalle I.Tracer la courbe représentative C ( unités 1cm pour 5 objets en ordonnée).
b-Déterminer pour quelle production le coût unitaire est le plus bas.Déterminer alors le bénéfice de l'entreprise.
c-Déterminer graphiquement le nombre d'objets que l'on doit fabriquer et vendre pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 80 euros.
2)a-Montrer que le bénéfice global de l'entreprise est: B(x)= -x²+110x-900.
b-Déterminer son sens de variation sur I et déterminer la prosuction permettant d'avoir un bénéfice maximal.Quel est ce bénéfice?
Le coût unitaire est-il dans ce cas-là minimal?
Merci d'avance...
Bonsoir,
Pour la question 1)a), il faut commencer par chercher la dérivée U'(x), étudier son signe puis en déduire le tableau de variations ...
Cordialement.
oui j'ai fais
xx-10 est déivable sur I.
x1/x est dérivable sur I.
donc 900/x est dérivable sur I.
f est dérivable comme somme sur I.
x
I, f'(x)= 1-(900/x²)
f'(x)=( x²-900)/x²
=[(x+300)(x-300)]/x²
et la je suis bloquée...
Pour la dérivée j'obtiens U'(x) = (car x2-900 = (x-30)(x+30)). A partir de là, on peut en déduire le signe de U'(x) en faisant un tableau des signes: U'(x) sera négative sur [10;30] et positive sur [30;100]. Et on obtient ainsi les variations de U ...
Le bénéfice est égal à la différence entre le prix de vente d'un objet multiplié par le nombre d'objets vendus et le coût de production unitaire multiplié lui aussi par le nombre d'objets vendus ...
jai trouvé:
100x-[x-10+ (900/x)](x)
= 100x-[x²-10x+(900x/x]
=100x-(x3-10x²+900x)/x
=(100x²-x3-10x²+900x)/x
=(90x²-x3+900x)/x
=90x-x²+900
je pense m'être trompée dans mon calcul...
Oui, quelques petites erreurs (mais c'est en faisant des erreurs que l'on apprend !):
100x - [x - 10 + (900/x)](x)
= 100x - [x2 - 10x + 900], en distribuant le x (il y notamment simplification entre 900/x et x)
= 100x - x2 + 10x - 900, en distribuant le moins
= -x2 + 110x - 900, en réduisant
Pour tracer la courbe, il faut s'appuyer sur le tableau de variations (ici ). Il nous dit que la courbe passe par les points A(10;90), B(30;50) et C(100;99) que l'on peut déjà placer sur le graphique. De plus, il nous apprend que B correspond au minimum de la courbe; on peut donc placer une tangente horizontale en ce point. En cherchant ensuite quelques points supplémentaires (par exemple pour les abscisses 20, 50 et 80), on aura une assez bonne idée de l'allure de la courbe pour la tracer.
Il faudra bien respecter les unités imposées par l'énoncé. Ainsi, pour les abscisses, on aura:
1 cm : 5 objets
2 cm : 10 objets
etc.
20 cm: 100 objets
Et pour les ordonnées:
1 cm : 10 euros
2 cm : 20 euros
etc.
10 cm : 100 euros
A noter que le graphique sous le tableau de variations n'est pas à l'échelle !
encore un petite question... Pour montrer que le bénéfice global est : B(x)= -x²+110x-900 je refais la même chose que le petit 1.b...?
je n'arrive pas a répondre aux questions: 1)b- déterminer le bénéfice de l'entreprise et la 2)a- montrer le bénéfice global de l'entreprise est : B(x) = -x²+110x-900...
Pour la question 1)b), on peut s'appuyer sur le tableau de variations ici . Il nous dit que U(x) est minimum pour x = 30 et que le coût de production unitaire vaut alors 50 euros. Sachant que le bénéfice est la différence entre le prix d'un objet multiplié par le nombre d'objets vendus et le coût de production unitaire également multiplié par le nombre d'objets vendus, le bénéfice sera pour 30 objets: 100
30 - 50
30 = 1500 euros (mes calculs sont à revérifier car je ne suis pas à l'abri d'une erreur !).
Ensuite, pour la question 2)a), il faut reprendre la même définition du bénéfice: B(x) = 100x - U(x)x = 100x - [x-10+(900/x)]
x = ...
Dans la question 1)b), on vend 30 objets. 100 est le prix de vente d'un objet et 50 le coût de production d'un objet (ou coût unitaire).
j'ai trouvé pour le 2 b.:
b(x)=-x²+ 110X-900
x² est dérivable sur [10; 100]
110x-900 est dérivable sur [10;100]
B est dérivable sur [10;100] comme somme des fonctions dérivable sur [10;100]
On a donc :
B'(x)= -2x+110
x=55
b'(x) est positive sur 10;55 et négative sur 55; 100...
Je suis d'accord. Quel nombre d'objets permet alors d'avoir un bénéfice maximum (et quel est ce bénéfice) ?
le nombre d'objets c'est 55 et le bénéfice c'est :
-(55)²+110X(55)-900
= -3025+6050-900
=3025-900=2125.
Le coût unitaire est dans ce cas là maximal.
Ok pour 55 et la valeur du bénéfice. Par contre, le coût unitaire n'est pas minimal pour x = 55 puisque le tableau de variations nous avait montré dans la question 1)b) qu'il est minimal pour x = 30.
Le bénéfice est maximal pour x = 55. Le coût unitaire est maximal pour x = 99 (toujours d'après le même tableau). Mais l'énoncé demande bien "Le coût unitaire est-il dans ce cas-là minimal?", c'est-à-dire minimal pour x = 55 (ce qui n'est pas le cas).
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