Alors voilà j'ai un DM à rendre pour vendredi mais j'ai un gros bug donc heeelp s'il vous plait ! :s
A-construction et conjecture:
1. construire ABC sur geogebra, construire l'orthocentre du triangle et l centre de gravité de ABC ainsi que le centre du cercle circonscrit O
2. Deplacer les points A,B et C. quelle conjecture peut on faire sur les points o, G et H?
3. conjecturer l'expression de vOH en fonction de vOG

B- caractérisation vectorielle de l'orthocentre
K est un point defini par vOK=vOA+vOB+vOC et A' milieu de [AB]
1. construire K et faire une conjecture sur ce point
2. a) demontrer que vOB+vOC=2OA', en deduire vAK en fonstion de vOA'
b) justifier que (AK) et (OA') sont parallèles
c) demontrer que (AK) et (BC) sont perpendiculaires
3. pourquoi (BK) et (AC) sont aussi perpendiculaires?
4. en deduire que l'orthocentre H verifie l'égalité: vOH=vOA+vOB+vOC

C- caractérisation vectorielle du centre de gravité
on considère P defini par vAP=2/3vAA' où A' est le milieu de [BC]
1. construire P et conjecturer sur ce point
2. a) demontrer que vAB+vAC=2vAA' et en deduire que vPA+vPB+vPC=v0
b) justifier que vPA+vPB=2vPC' où C' est le milieu de [AB]
c) en deduire que les points P, C et C'
3. deduire de ce qui precède que GA+GB+GC=0 ou G centre de gravité

D- demonstration de l'alignement de O, H et G
1. à l'aide des egalités obtenues sur H et G, demontrer que vOH=3vOG
2. dans quelle configuration a-t-on O=G=H? [déjà fait]
3. En dehors du cas precedent, montrer que les trois points O,G et H sont alignés sur une droite qu'on appelle la droite d'Euler du triangle ABC
4. On suppose que ABC est un triangle rectangle en A:
a) indiquer les positions de H et de O
b) en deduire la droite d'Euler du triangle ABC

Alors voilà j'ai fais le A et je suis au B et j'ai du mal et il y a ma figure que j'ai faite ! :s