Exercice 2 (Electricité)

Un oscillateur électrique est un circuit constitué d'un condensateur de capacité C (en Farads) et d'unebobine d'auto-inductance L (en Henrys) de résistance négligeable, alimenté par un générateur deforce électromotrice E (en Volts) et de deux interrupteurs K, et K2

e

A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K₁, le condensateur se charge. La charge se terminelorsque la tension aux bornes du condensateur est U- E, la charge est alors90= CU etl'intensité io = 0.

• On ouvre alors l'interrupteur K₁ et on ferme ensuite l'interrupteurK2, le circuit oscille et lecondensateur se décharge dans le circuit, On appelle q(t) la valeur de la charge (en coulombs)du condensateur à l'instant t et la valeur q(t) de la charge vérifie la relation :LOn définit ainsi une fonction q deu x fois dérivables sur l'intervalle 0;+ solution del'équation différentielle

Ly" +y = 0,

L'intensité i(t) du courant à l'instant t est donnée par: i(t) = -(t)pour

tout t> 0.

1) On donne C = 2 x 10-3, L = 1,25 et Uo = E = 50

a) Montrer que q est solution de l'équation différentielle y" + 400y = 0 (1)

b) Résoudre l'équation différentielle (1)

2)a) Donner la solution particulière de l'équation différentielle (1) vérifiant les conditions

initiales : qo = CU₂ et io = 0

b) En déduire l'expression de l'intensité: i(t).

3) On désigne par le la valeur(en ampères) de l'intensité efficace du courant dans le circuit. On

Calculer 1 puis donner une valeur approchée de 1. à 102 près

sachant que l≥ 0

On donne √2≈ 1,4142136