bonsoir,

un exemple pour comprendre :

12.3 x 12.4

est un encadrement de x d'amplitude 12.4 - 12.3 = 0.1 = 10^-1

...

Non en fait ce n'est pas ça que je n'ai pas compris... bon voilà je donne un exemple que je n'ai pas saisi: voilà l'énoncé et le corrigé:
a) montrer que l'équation x^3+x-1=0 admet une solution unique x1 tq 0 <x1< 1
réponse:
bon c'est un peu long; en gros on dérive f, on étudie le signe de la dérivée puis on déduit les variations de f; ensuite on fait:
f(0) = -1
f(1) = 1
puisque f(0) et f(1) sont de signes contraires alors f(x) admet une solution unique sur [0;1]

b) trouvez un encadrement d'amplitude 1/4 de x1
réponse: ( j'ai pas compris)
f(1/2) = -3/8 => 1/2 <x1< 1
f (3/4) = 11/64 => 1/2 <x1< 3/4
l'amplitude de [1/2;3/4] est 3/4 -1/2 = 1/4
donc 1/2 <x1< 3/4
en fait j'ai pas compris pourquoi est-ce qu'on a pris 1/2 et 3/4  

OK.

On travaille par approximations successives.
Et pour approcher le plus rapidemment le nombre qu'on cherche,
on travaille sur la valeur médiane de l'intervalle.

admettons qu'on recherche x0, tel que sur [a; b] f(x0) = 0, avec f croissante

on calcule f((a+b)/2)
  si négatif, on calcule ensuite avec la valeur intermédiaire de [(a+b)/2; b] --> f(((a + b)/2 + b)/2)
  si positif, on calcule ensuite avec la valeur intermédiaire de [a; (a+b)/2] --> f((a + (a + b)/2)/2)

et ainsi de suite...
on s'arrête quand on a trouvé un encadrement satisfaisant.

Est-ce un peu plus clair ?

...

oui c'est un peu plus clair ; est-ce que c'est une méthode générale? on peut l'appliquer sur toutes les questions du genre? que veux tu dire par encadrement satisfaisant ( permet moi de te tutoyer )? je ne fais pas vraiment le rapport avec la réponse que j'ai écrite, à savoir f(1/2)= -3/8 => 1/2< x1< 1 ... j'ai compris pourquoi on a pris 1/2 et 3/4 d'après ce que tu m'as expliqué mais j'essaie de comprendre l'implication => 1/2< x1< 1 .
Merci de répondre à toutes mes questions

Re :

1 - La méthode que je t'ai exposée est générale.
Elle est utilisée d'ailleurs dans les algorithmes informatiques
pour approcher la valeur d'un nombre.

2 - l'encadrement est dit satisfaisant quand l'encadrement de x0 correspond
à la contrainte que l'on s'est fixé : trouver le nombre à 10^-4 près par exemple.
Ici, ta contrainte est d'arriver à encadrer le nombre recherché par 2 nombres
dont la différence est au plus égale à 1/4.

3- dans ton exemple, on trouve :
f(1/2)=-3/8 f(x1)=0 f(3/4)=11/64
comme la fonction est continue et strictement croissante, on en déduit que
les nombres sont rangés dans le même ordre que leur image, et donc que :
1/2 x1 3/4

...

ok... il y'a noté à côté dichotomie ... ça te dit quelque chose?

dichotomie,c'est la méthode que je t'ai expliqué.
vas voir ce lien -->

...

ah d'accord ... une dernière chose: j'ai noté que l'amplitude de [1/2;3/4] est 3/4 - 1/2 = 1/4 ; puisqu'il nous est donné que l'amplitude est de 1/4, et une fois qu'on a trouvé 1/2 grâce à la dichotomie on peut déduire 3/4 sans avoir recours à la méthode non? ce n'est qu'une suggestion ... et puis pour le truc de l'amplitude 10^-1, on peut utiliser la calculatrice tu sais comment?

Re :

à partir de 1/2, on choisit 3/4, en appliquant le principe de dichotomie.
Seulement, avant d'avoir calculé f(3/4), on ne sait pas si cette valeur conviendra,
car on ne sait pas d'avance si f(3/4) sera positif.

Si f(3/4) s'était révélé négatif, il fallait continuer, car on n'avait pas encore trouvé un encadrement satisfaisant
(encore qu'ici c'est un peu trivial, car la valeur aurait été encadré par 3/4 et 1 ce qui était de toute façon suffisant).

C'est pourquoi, en général, la question de "quand on s'arrête" intervient indépendemment de la recherche en dichotomie.
IL faut faire le test à chaque réduction de l'encadrement, pour savoir si on s'arrête.

...

ok je saisis en gros... j'ai encore quelques lacunes mais j'imagine qu'il faut que je travaille encore et encore cette méthode... et pour la calculatrice? comment obtenir l'encadrement en l'utilisant?

Re :

ta recherche s'effectue entre 0 et 1
la calculatrice te sert juste à calculer f(x) pour savoir
si f(x) est positif ou négatif,
et donc savoir quelle borne de l'encadrement tu dois retenir.

Si tu veux un encadrement "rond", on peut faire une dichotomie un peu décalée,
qui n'est pas forcément centrée sur la valeur médiane de l'intervalle.

exemple (bidon, car je n'ai pas fait les calculs):
au départ [0; 1]
puis [0.5; 1]
puis [0.5; 0.7]
puis [0.6; 0.7]
et là on s'arrête.

...

ok j'y reviendrai plus tard... en tout cas merci beaucoup!