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Encadrement de fonction

Posté par
Samsco 21-02-20 à 21:27

On étudie la fonction f définie sur [0; +\infty[ par
f(x)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}

1) Montrer que lorsque x≥0 et b≥a>0 ,alors  \dfrac{1}{x+b}\leq \dfrac{1}{x+a}

2)Deduisez en que pour x≥0 :

\dfrac{3}{x+3}\leq f(x) \leq \dfrac{3}{x+1}

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:29

Points 0 et 4 -->

Posté par
carpediemre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:29

salut

et alors c'est élémentaire (niveau collège)

que fait la fonction inverse sur ]0, +oo[ ?

Posté par
larrechre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:30

Bonsoir,

Que proposes-tu ?

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:30

1) On a pour tout x≥0 et b≥a>0
b ≥ a <=>  x+b  ≥  x+a  <=> \dfrac{1}{x+b}\leq \dfrac{1}{x+a}

Posté par
larrechre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:30

je me sauve...

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:31

C'est pour la 2) que je bloque

Et DSL ,Bonsoir tlm

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:32

On a pour tout x≥0 et b≥a 0
b ≥ a > 0 <=>  x+b  ≥  x+a > 0 <=> \dfrac{1}{x+b}\leq \dfrac{1}{x+a}

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:33

D'après 1 , on a : 1/(x+2) < 1/(x+1)  et  1/(x+3) < 1/(x+1)

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:36

Yzz @ 21-02-2020 à 21:32

On a pour tout x≥0 et b≥a 0
b ≥ a > 0 <=>  x+b  ≥  x+a > 0 <=> \dfrac{1}{x+b}\leq \dfrac{1}{x+a}

OK

Yzz @ 21-02-2020 à 21:33

D'après 1 , on a : 1/(x+2) < 1/(x+1)  et  1/(x+3) < 1/(x+1)

Oui

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:38

Et donc,

1/(x+1) + 1/(x+2) + 1/(x+3) < ...

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:39

(Avec des plutôt que des < bien sûr)

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:43

Ce que je vois pour l'instant c'est ça

1 / (x+2) + 1/ (x+3) ≤ 2 / (x+1)

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:44

Et donc, 1/(x+1) + 1/(x+2) + 1/(x+3) ?

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:45

Il te suffit d'ajouter 1/(x+1) de chaque côté de ton inégalité précédente !

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:45

f(x)≤ 3 / (x+1)

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:46

Oui.

Un encadrement analogue te donnera l'autre partie de la double inégalité.

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:53

OK

1 / (x+1) ≥ 1 / (x+3) Et  1 / (x+2 ) ≥ 1 /(x+3)

\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}\geq \dfrac{2}{x+3}

\dfrac{3}{x+3}\geq f(x)

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:55

Oui.

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:56

Merci beaucoup

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 21:57

De rien    

Posté par
larrechre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 22:02

Samsco @ 21-02-2020 à 21:53

OK

1 / (x+1) ≥ 1 / (x+3) Et  1 / (x+2 ) ≥ 1 /(x+3)

\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}\geq \dfrac{2}{x+3}

\dfrac{3}{x+3}\geq f(x)


étourderie, c'est le contraire

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 21-02-20 à 22:06

Oui lol,

f(x)\geq\dfrac{3}{x+3}

Posté par
larrechre : Encadrement de fonction 21-02-20 à 22:08

Oui

Posté par
Yzzre : Encadrement de fonction 22-02-20 à 06:27

Ah oui, même pas remarqué !
Merci larrech    

Posté par
larrechre : Encadrement de fonction 22-02-20 à 08:16

Bonjour Yzz

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 22-02-20 à 08:57

Bonjour tlm

Posté par
carpediemre : Encadrement de fonction 22-02-20 à 13:11

x + 1 \le x + 1 \le x + 3 \\ x + 1 \le x + 2\le x + 3 \\ x + 1 \le x + 3 \le x + 3 \\ \\ \dfrac 1 {x + 3} \le \dfrac 1 {x + 1} \le \dfrac 1 {x + 1} \\ \dfrac 1 {x + 3} \le \dfrac 1 {x + 2} \le \dfrac 1 {x + 1} \\ \dfrac 1 {x + 3} \le \dfrac 1 {x + 3} \le \dfrac 1 {x + 1}

et on additionne membre à membre ...

Posté par
Samscore : Encadrement de fonction 22-02-20 à 13:14

Merci 😁

Posté par
carpediemre : Encadrement de fonction 22-02-20 à 13:18

de rien


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