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encadrement de fonction

Posté par
chloe9999
22-01-22 à 10:14

Bonjour
soit la fonction f(x)=-2x^4+16x^2-10 sur [-3;3]
je devais déterminer les variations de la fonction, j'ai trouvé :
f'(x)=-8x^3+32x
= -8x(x^2-4)
=-8x((x+2)(x-2))
Du coup f'(x) s'annule en -2 0 et 2
f'(x) est positive entre -3 et -2, négative entre -2 et 0, positive entre 0 et 2 et négative entre 2 et 3
f(x) est donc croissante sur -3 à 2, décroissante sur -2 à 0, croissante de 0 à 2 et décroissante de 2 à 3
Avec un minimum local de -28 atteint en x=-3 et 3 et un maximum local atteint de 22 atteint en x=-2 et 2
Est-ce que jusque là tout est bon ?
Ensuite, je dois déterminer un encadrement de f(x) lorsque x appartient à [-2;2]
mais alors je bloque car d'après le tableau :
22<f(x)<22 ??
Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci d'avance.

Posté par
hekla
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 10:23

Bonjour

Oui c'est correct.

On aurait pu faire la remarque que la fonction était paire

Vous ne tenez pas compte des variations de f
Elle n'est pas constante sur cet intervalle [-2~;~2]

Posté par
carpediem
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 11:05

salut

sans l'étude des variation de f :

f(x) = -2x^4 + 16x^2 - 10 = -2(x^4 - 8x^2 + 5) = -2[(x^2 - 4)^2 - 11]

un polynome est défini sur R donc on a forcément un extremum local en -3 et en 3 et bien sûr un extremum local en -2 et 2 puisqu'un carré est positif (voir cours trinome du second degré)

un carré étant positif (x^2 - 4)^2 - 11 est minimal en -2 et 2 de minimum -11 et en multipliant par -2 "ça" devient un maximum local 22     puisque f(x) = 22 - 2(x^2 - 4)^2

il ne reste qu'à calculer f(-3) = f(3) = ...   puisque f est paire ... pour conclure ...  inutile pour encadre f sur l'intervalle [-2, 2]
par parité le minimum (local) a lieu en 0 ...

Posté par
chloe9999
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 11:23

Je vous remercie Hekla pour votre réponse mais je n'ai pas compris pour l'encadrement ?
"Vous ne tenez pas compte des variations de f
Elle n'est pas constante sur cet intervalle [-2~;~2]"
Merci

Posté par
chloe9999
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 11:23

Je vous remercie Carpediem mais je n'ai pas compris pour l'encadrement ?
merci.

Posté par
hekla
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 11:38

Vous avez dit que sur [0~;2] la fonction était croissante. En précisant f(0) et f(2),
vous pourrez constater que f(x) n'est pas toujours égal à 22,
sens de la dernière phrase.

Si vous regardez le tableau de variation vous verrez qu'elle est sur un
intervalle, croissante et sur un autre décroissante. C'est pour quoi j'avais
écrit que vous n'en tenez pas compte, laissant supposer qu'elle était constante.

Posté par
chloe9999
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 11:44

Merci du coup c'est
-10<f(x)<22 ?

Posté par
hekla
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 11:57

Un petit dessin
encadrement de fonction

Vous pouvez alors constater que la réponse est correcte.

Posté par
chloe9999
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 12:06

Merci beaucoup !
Je m'étais moi aussi fait un petit dessin pour m'aider.

Bon après-midi.

Posté par
chloe9999
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 12:09

Si je puis me permettre, j'ai un autre exercice :

Bonjour,
Soit la fonction f(x)=(x+2,5)/(1,2-0,3x^2)
Question 1 : déterminer le domaine de définition, j'ai trouvé
]-l'infini;-2[U]-2;2[U]2;+l'infini[
Question 2 : déterminer le tableau de signe de f sur son domaine de def, j'ai utilisé (u(x))/(v(x)) pour trouver la dérivée et j'ai trouvé f'(x)=(0,3x^2+1,5x+1,2)/(1,2-0,3x^2)^2
puis j'ai calculé delta = 0,81>0 d'où x1= -4 et x2=-1
du coup f(x) est croissant de - l'infini à -4 puis décroissant de -4 à -2
-2 est une valeur interdite
puis f(x) est décroissante de -2 à -1 puis croissante de -1 à 2
2 est une valeur interdite
puis f(x) est croissante de 2 à + l'infini

f'(x) est + sur - l'infini à -4 puis - de -4 à -2
-2 est une valeur interdite
puis f'(x) est - de -2 à -1 puis + de -1 à 2
2 est une valeur interdite
puis f'(x) est + de 2 à + l'infini

Question 3 : étudier les variations de f. On donnera les valeurs exactes des images des nombres qui interviennent dans le tableau
J'ai mis : si x=-4 alors f(x)=0,4166 et si x = -1 alors f(x)=1,666 mais je ne sais pas si cela répond à la question.
Question 4 : par le calcul, déterminer les nombres qui ont exactement un antécédent par cette fonction f. Justifier (on pourra par exemple rechercher les antécédents par f de tous les nombres m en établissant plusieurs cas)
Mais là je ne comprends pas la question.
Merci pour votre aide : le début est-il déjà juste ?

Posté par
hekla
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 12:22

De rien

Il ne fallait pas l'écrire ici. 1 exercice =1 sujet
d'autre part vous avez déjà ouvert un autre sujet.  Cela est considéré comme du multiposte.

Posté par
chloe9999
re : encadrement de fonction 22-01-22 à 12:55

Ah mince, je n'ai pas pensé qu'il ne fallait pas ...
Je vais voir les réponses de l'autre côté du coup.
Merci.



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