1) equation de C
on note (xi;yi) les coordonnées de I et (xa;ya) les coordonnées de A

(x-xi)²+(y-yi)²=R²
Avec R² le rayon du cercle R²= (xa-xi)²+(ya-yi)²

=> (x-2)²+(y+3)²=10

2) Calculer les coordonnées des points d intersection de C ac les axes du repère
l'axe des abcisses: x=0 => (0-2)²+(y+3)²=10
=> y=6 - 3
C coupe l'axe des abcisses en (O;6-3)

l'axe des ordonnées: y=0 => (x-2)²+(0+3)²=10
=> x=3
C coupe l'axe des ordonnées en (3;0).

3) a)
L'equation est du type y=2x+b et A est solution de cette equation donc ya=2*xa+b donc b=ya-2xa=-12
L'equation de (D) est y = 2x - 12

b) On a le systeme:
(x-2)²+(y+3)²=10
y = 2x - 12

(x-2)²+(2x-12+3)²=10
5(x²-8x+15)=0
(x-5)(x-3)=0

L'intersection est A(3;-6) ( normal puisque A € (D) et C par definition) et B(5;-2)

4) a)
La tangente a pour coefficent directeur l'inverse opposé de la droite (AI) et le coefficient directeur de (AI) est (ya-yi)/(xa-xi) = -3

Donc la tangente de C en A a pour equation y=x/3 + b' et A appartient à cette droite donc ya=xa/3 + b'
donc b'=-7
L'equation de la tangente est donc y=x/3 -7

b) resolvez le systeme de couple inconnu (x,y)
x² + y²-4x+6y+3=0
x - 3y-21=0

   x²+y²-4x+6y+3 = (x²-4x + 4) + (y²+6y+9) +3-13
=(x-2)²+(y+3)²-10=0
=> (x-2)²+(y+3)²=10
C'est l'equation du cercle C !!!

x - 3y-21=0 => y=x/3 - 7
C'est l'equation de la tangente de C en A!!!

Conclusion pas besoin de resoudre ce systeme on sait que l'unique point appartenant à C et à la tangente de C en A c'est A!!!

Reponse: (x;y)=(3;-6)

Bonjour lili322,

l'équation générale d'un cercle dans un repèr (O,i,j) de centre S(X,Y) et de rayon R est :

(x-X)²+(y-Y)²=R²

ceci te permettra en remplaçant X et Y de préciser l'équation du cercle cherchée et le rayon de ce cercle étant AI tu peux aussi trouver R.

Pour la question 2 :
Une fois que tu as l'équation de ton cercle il suffit de constater que sur l'axe des abscisses y=0 tu obtinedras alors une équation du second degré en x que, je suppose que ton énoncé est fait pour, tu sais résoudre.(les points solutions auront des coordonnées du type (x;0)).

Pour les points d'intersection avec l'axe des ordonnées il suffit aussi de constater que sur cet axe x=0 soit en remplaçant dans l'équation du cercle tu va obtenir une équation du second degré que tu dois savoir résoudre.(les points solutions auront des coordonnées du type (0;y)).

Pour la question 3 :
a) une équation dite réduite d'une droite (les droites parallèles à l'axe des ordonnées n'en n'ont pas) est du type y=mx+p où m est le coefficient directeur, si tu as un point il te suffit de remplacer (x,y) par ses coordonnées pour déterminer p.

b) Une fois que tu a l'équation de ta droite D, les point intersection de la droite et du cercle ont leurs coordonnées qui vérifient les deux équations.
Par conséquent en remplaçant y dans l'équation du cercle par le second membre de l'équation de la droite tu arrives à une équation du second degré que tu dois savoir résoudre.

Pour la question 4 :
a) Une propriété du cercle est peut être nécessaire, à savoir : la tangente à un point du cercle est la droite passant par ce point et qui est perpendiculairre à la droite passant par ce point et le centre du cercle.
détermine une équation de la droite (AI).
deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficient directeur est égal à -1 donc tu pourras avoir le coefficient directeur de la tangente de cette manière et comme tu as un point de cette droite (le point A) tu es ramené à faire le même genre de calcul que dans la question 3a.

b) x²+y²-4x+6y+3=(x-2)²-4+(y²+3)-9+3=(x-2)²+(y-3)²-10
d'où (x-2)²+(y-3)²=10 (ooohhh ce ne serait pas l'équation de ton cercle).
x-3y-21=0 s'écrit aussi y=x-7 (c'est l'équation du droite)

on est donc ramener par ce biais à déterminer l'intersection de ton cercle et de la droite d'équation y=x-7 ce que l'on sait faire depuis la question 3b.

Salut

en retard comme d'habitude

1)
R² = |AI|² = 1 + 3² = 10

Equation du cercle:
(x-2)² + (y+3)² = 10
-----
2)
Si x = 0
-> 4 + (y+3)² = 10
(y+3)² = 6
y = (+/-V6) - 3   (V pour racine carrée).
-> les points (0 ; -3-V6) et (0 ; -3+V6)

Si y = 0
(x-2)² + 9 = 10
(x-2)² = 1
x-2 = +/-1
x = 2 +/- 1 -> x = 1 et x = 3
-> les points(1 ; 0) et (1 ; 3)
-----
3)
a)
D: y = 2x + k
Passe par A(3;-6)
-6 = 2*3 + k
k = -12 ->

D: y = 2x - 12
---
b)
Résoudre le système:
(x-2)² + (y+3)² = 10
y = 2x - 12

(x-2)² + (2x-9)² = 10
x² - 4x + 4 + 4x² - 36x + 81 = 10
5x² - 40x + 75 = 0
x² - 8x + 15 = 0
-> x = 3 et x = 5
x = 3 -> y = 6-12 = -6
x = 5 -> y = 10-12 = -2

-> les points(3 ; -6) et (5 ; -2)
-----
4)
a)
(x-2)² + (y+3)² = 10
(y+3)² = 10 - (x-2)²
(y+3)² = -x² + 4x + 6
Le demi cercle négatif (où A se trouve) a pour équation:

y = -3 - V(-x²+4x+6)
f(x) = -3 - V(-x²+4x+6)
f '(x) = (x-2)/(V(-x²+4x+6))

f'(3) = 1/(V(9)) = 1/3
f(3) = -6

T: (y +6) = (x - 3).(1/3)
T: y = (1/3)x - 7
---
b)
x²+y²-4x+6y+3=0
x-3y-21=0

x = 3y + 21
(3y+21)² + y² - 12y - 84 + 6y + 3 = 0
9y²+126y+441+ y² - 12y - 84 + 6y + 3 = 0
10y² + 120y + 360 = 0
y² + 12y + 36 = 0
(y+6)² = 0
y = -6

x = 3y+21
x = -18+21 = 3

-> le couple (x,y) = (3,-6)
-----
Sauf distraction.  

Tir groupé pour le moment des réponses.

Ah oui je m'etais planté pour les intersections des reperes!! J'ai oublié les solutions négatives de la racine carré!!...

C coupe l'axe des abcisses en (O;6-3) et (O;-6-3)
C coupe l'axe des ordonnées en (3;0) et (1;0)

Moi aussi.

Ma ligne:
-> les points(1 ; 0) et (1 ; 3)

Doit être remplacée par
-> les points(1 ; 0) et (3 ; 0)

On dira qu'on a écrit cela pour tester l'attention de lili322.