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encore une chose svp
Soit abcd un tetraede
on considere les points e,f,g,h,i et j milieux respectifs des segments [ab], [bc], [cd], [da], [bd] et [ca]
a) demontrer que les quadrilateres efgh et ejgi sont des parrallelogrames
b)demontrer que les segments [eg], [fg] et [ij] se coupent en leur milieu 0
c) demontrer que oa+ob+oc+od=0 (1)
(des vecteur au dessus)
d)on considere le repere (a;ab;ac;ad)
deduire de (1) les coordonnes du point 0
e)determiner les coordonnes des points j, g et h
f)demontrer que og , oh et oj ne sont pas coplanaires
merci d'avance
a)
On considère le repère (a;ab;ac;ad) .
On a alors:
a(0;0;0)
b(1;0;0)
c(0;1;0)
d(0;0;1)
e(1/2;0;0)
f(1/2;1/2;0)
g(0;1/2;1/2)
h(0;0;1/2)
i(1/2;0;1/2)
j(0;1/2;0)
vect(ef) : (0 ; 1/2 ; 0)
vect(hg): (0 ; 1/2 ; 0)
Donc le quadrilatère efgh a ses cotés égaux et parallèles -> c'est
un parallélogramme.
vect(ej) : (-1/2 ; 1/2 ; 0)
vect(ig) : (-1/2 ; 1/2 ; 0)
Donc le quadrilatère ejgi a ses cotés égaux et parallèles -> c'est
un parallélogramme.
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b)
Le point milieu de [eg] a pour coordonnées (1/4 ; 1/4; 1/4)
Le point milieu de [fg] a pour coordonnées (1/4 ; 1/4; 1/4)
Le point milieu de [ij] a pour coordonnées (1/4 ; 1/4; 1/4)
et donc les segments [eg], [fg] et [ij] se coupent en leur milieu avec
O(1/4 ; 1/4; 1/4).
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c)
vect(Oa) : (-1/4; -1/4; -1/4)
vect(Ob) : (3/4 ; -1/4; -1/4)
vect(Oc) : (-1/4 ; 3/4; -1/4)
vect(Od) : (-1/4 ; -1/4; 3/4)
vect(Oa) + vect(Ob) + vect(Oc) + vect(Od) : (-1/4+3/4-1/4-1/4 ; -1/4-1/4+3/4-1/4;-1/4-1/4-1/4+3/4)
vect(Oa) + vect(Ob) + vect(Oc) + vect(Od) : (0 ; 0 ; 0)
vect(Oa) + vect(Ob) + vect(Oc) + vect(Od) = vect(O)
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d)
déjà fait avant: O(1/4 ; 1/4; 1/4)
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e)
déjà fait avant:
g(0;1/2;1/2)
h(0;0;1/2)
j(0;1/2;0)
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f)
On a:
O(1/4;1/4;1/4)
g(0;1/2;1/2)
h(0;0;1/2)
L'équation du plan passant par O, g et h est:
x + z = 1/2
j(0;1/2;0)
Les coordonnées de j ne satisfont l'équation du plan passant par
O, g et h -> og , oh et oj ne sont pas coplanaires
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Sauf distraction.
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