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Niveau cinquième
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Énigme d'halloween

Posté par
Fadfade
19-09-16 à 14:44

Bonjour,
Je dois rentre un DM *****et je n'y comprends rien. J'espère que quelqu'un pourra m'aider je suis en classe de 5eme.

Le Petit karamelo est fier de sa récolte de bonbons pour Halloween il se demande combien il va manger de bonbons par jour.
Si les mange par 5 il lui restera 4 le dernier jour,
S'il est mange par 6 il lui en restera 5 le dernier jour,
S'il est mange par 8 il lui en restera 7 le dernier jour,
Combien de bonbons a-t-il récolté cette année sachant qu'il en a entre 200 et 300 ?

Je ne sais même pas par où commencer ??

Posté par
Fadfade
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 14:50

J'ai essayé en posant un système d'équations
5x+4=y
6x+5=y
8x+7=y
Mais je trouve pas grgrrr, j'ai x=-1 et cela n'est pas cohérent
Aidez moi svvppp

  

Posté par
Priam
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 15:19

Ce n'est pas tout à fait cela (il faudrait un  x  différent à chaque ligne).
Ecris plutôt
5a + 4 = N
6b + 5 = N
8c + 7 = N
N étant le nombre total de bonbons.
Maintenant, je te suggère d'étudier le nombre  N + 1 .

Posté par
Leile
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 15:25

bonjour,

une façon de faire :
entre 200 et 300, quels sont les nombres qui te donnent un reste=4 quand tu les divises par 5 ??
il y en a 20 :
204, 209, 214, 219, 224, 229, 234, 239, 244, 249, 254, 259, 264, 269, 274, 279, 284, 289, 294 et 299

parmi ces 20 nombres, quels sont ceux qui te donnent un reste = 5 quand tu les divises par 6 ? barre les autres.
parmi ceux qui restent, quels sont ceux qui te donnent un reste = 7 quand tu les divises par 8 ?


une autre façon :
Si les mange par 5 il lui restera 4 le dernier jour  ==> donc si tu en ajoutes un, ce sera divisible par 5
Si les mange par 6 il lui restera 5 le dernier jour  ==> si tu en ajoutes un, ce sera divisible par 6,
Si les mange par 8 il lui restera 7 le dernier jour ==> si tu en ajoutes un,  ce sera divisible par 8
or 5*6*8 = 240   ...     alors ...

Posté par
Fadfade
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 16:58

Mais je sais pas quoi faire de 5*6*8= 240 dois je enlever 3 à 240 ?

Posté par
Fadfade
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 17:02

Bonjour,
Je comprends pas tes 20resultats car quand je divise 204 ar 5 cela ne me donne pas un reste=4 mais 40,8. Désolé mais je suis complètement perdu

Posté par
Priam
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 17:36

Le nombre de bonbons plus un est ainsi divisible par 5, par 6 et par 8, donc par 240.
Or l'énoncé dit que le nombre de bonbons est compris entre 200 et 300.
D'où le nombre de bonbons.

Posté par
Fadfade
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 17:44

Priam @ 19-09-2016 à 17:36

Le nombre de bonbons plus un est ainsi divisible par 5, par 6 et par 8, donc par 240.
Or l'énoncé dit que le nombre de bonbons est compris entre 200 et 300.
D'où le nombre de bonbons

Merci beaucoup j'ai une dernière question, stp, on a trouvé le nombre de bonbons +1 là, pas le nombre total, non?

Posté par
Fadfade
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 18:03

Cela veut dire que si le nombre n'est pas entre 200et 300 j'aurais fais, 4*5*7= 140 donc Il aurait récolté 140 bonbons??

Posté par
Priam
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 18:39

Pourquoi  4*5*7 ?

Posté par
Fadfade
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 18:51

Parce que dans l'énoncé il reste 4, 5 et 7, est-ce que si on nous avait pas dit que le nombre de bonbons est entre 100 et300 il aurait simplement fallu faire 4*5*7 ?
et  pourquoi on ajoute 1 je me dis que ce n'est pas l'énoncé, et de plus pourquoi on multiplie?
J'suis désolé mais j'aimerais comprendre et encore merci

Posté par
Priam
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 20:19

Relis mon message de 15h19. La première ligne est, conformément à l'énoncé,
N = 5a + 4  .
J'ajoute  1 à chaque membre de cette égalité :
N + 1 = 5a + 4 + 1 = 5a + 5 = 5(a + 1) .
On voit alors que  N + 1  est multiple de 5.
Si on fait la même chose pour les deux lignes suivantes de 15h19, on constate que  N + 1  est également mutiple de  6  et de  8.
N + 1 est donc multiple de  5*6*8 .

Posté par
Fadfade
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 20:51

Merci beaucoup et encore désolé, donc si j'ai bien compris il fallait trouver la valeur qui est un multiple de 5,6 et 8?
Merci beaucoup. 👍👍👍

Posté par
Priam
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 21:28

Posté par
Leile
re : Énigme d'halloween 19-09-16 à 21:43

oui, c'est ça..

mais :
Si il les mange par 5 il lui restera 4 le dernier jour  ==> donc si tu en ajoutes un, ce sera divisible par 5
Si les mange par 6 il lui restera 5 le dernier jour  ==> si tu en ajoutes un, ce sera divisible par 6,
Si les mange par 8 il lui restera 7 le dernier jour ==> si tu en ajoutes un, ce sera divisible par 8
or 5*6*8 = 240   ...     alors ...
tu sais que 240 est un multiple de 5, 6 et 8
mais là, tu en as ajouté un !
donc la réponse c'est 239,  OK ?

Posté par
sebsag
re : Énigme d'halloween 18-10-20 à 22:29

J essayais d aider mon beau fils sur ce problème et je suis arrivé à x-4 =5y ce qui est la même chose que plus haut et après je me suis embrouillé. Et j ai du lire vos posts pour me rendre compte que c était évident si c était bien posé. Bravo a l aide et à 45 ans ça me permet de réactiver mes méninges. J ai passé un moment rigolo... merci. Il faut vraiment insister sur la façon dont on traduit une phrase en langage mathématique... en revanche, mon beau fils n a pas encore attaqué les équations, comment pourrait ton résoudre ce problème sans une équation ? En dehors des 150 opérations en tâtonnant bien sûr ? merci au cas où j ai une réponse

Posté par
azerti75
re : Énigme d'halloween 19-10-20 à 00:17

Bonsoir,

S'il les mange par 5, il lui restera 4 le dernier jour.
Or, les multiples de 5 se terminent tous par 0 ou 5.
Donc le nombre recherché se termine donc par 4 ou 9.

Entre 200 et 300, quels sont les nombres qui te donnent un reste=7 quand tu les divises par 8 ??

Or, on sait que 200 = 25 X 8
Donc réponse: 207, 215, 223, 231, 239, 247, 255, 263, 271, 279, 287, 295
Seuls 2 de ces nombres se terminent par 4 ou 9: 239 ou 279
Il ne te reste plus qu'à vérifier  lequel des deux a comme reste 5 en le divisant par 6.

Posté par
Leile
re : Énigme d'halloween 19-10-20 à 00:55

bonsoir,

sebsag, le problème est posé en cinquième : en effet, les équations (à 3 inconnues!) sont très compliquées ici.
Mais en cinquième, on voit les divisibilités et les multiples.
L'astuce est d'en ajouter un, pour se ramener à quelque chose qu'on connaît (si un nombre est divisible par 5 et 6 et 8, il est divisible par 5*6*8 = 240), et à la fin, d'enlever le bonbon ajouté.
OK ?

Posté par
sebsag
re : Énigme d'halloween 19-10-20 à 09:02

Compris, mais compliqué de comprendre la logique pour le gamin, enfin le jeune sans poser les équations. Enfin , moi j en ai eu besoin. Merci beaucoup

Posté par
azerti75
re : Énigme d'halloween 19-10-20 à 20:15

Bonsoir,

Leile @ 19-10-2020 à 00:55

bonsoir,

sebsag, (si un nombre est divisible par 5 et 6 et 8, il est divisible par 5*6*8 = 240), et à la fin, d'enlever le bonbon ajouté.
OK ?

Sauf erreur de ma part, c'est faux cette phrase.
Exemple 360 est divisible par 5, par 6 et par 8 mais il n'est pas divisible par 240

Posté par
Leile
re : Énigme d'halloween 19-10-20 à 20:30

oui, c'est vrai je voulais écrire :
si un nombre est divisible par 5 et 6 et 8, il peut s'écrire au minimum 5*6*8 = 240

je pense que sebsag avait compris..

Posté par
ty59847
re : Énigme d'halloween 19-10-20 à 20:45

Cette phrase est effectivement fausse, si n est divisible par a, b et c, alors il est divisible par PPCM(a,b,c).

Sur l'exercice, on a un jeu de valeur qui est 'magique'. A chaque fois, il manque juste 1 bonbon pour pouvoir tenir un jour de plus.
Et donc le nombre cherché n vérifie : n+1 est divisible par ppcm(5,6,8). L'astuce marche.
Mais j'aime beaucoup l'autre méthode, qui ne demande pas une intuition ou une astuce particulière :
Si je mange 5 bonbons par jour, il m'en reste 4 : donc le nombre cherché est parmi cette liste : 204, 209, 214, 219 ...etc 299
Si je mange 6 bonbons par jour, il m'en reste 5, donc je barre 204, 214, 219 ...
Et idem si je mange 8 bonbons par jour, ça me permet de barrer un certain nombre de valeurs.

Et il reste une seule valeur.
C'est simple, un peu bourrin, mais ça marche très bien.



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