je pense qu'il faut considérer qu'un des côtés du rectangle est confondu avec l'un des côtés du triangle.
Sinon le rectangle est de "travers" et son aire ne doit pas être maximale .. C apeut peut etre se démontrer.

Je suppose qu'un des côté du rectangle est "supporté" par BC par exemple . Le côté opposé à ce côté coupe la hauteur du triangle issue de A soit AH en M. Je pose AM/AH=p.
L'aire du rectangle est égale à
A= AH (1-p)*BC p (voir Thalès).
A= AH*BC*(-p²+p).
qui sera maximal pour *(-p²+p), soit pour p=1/2.

Le rectngle d'aire maxi est celui dont un des côtés joint les mileiux de deux côtés du triangle.
Tu peux vérifier que l'aire du rectangle est égale à la moitié de celle du triangle et cela quele que soit le côté du triangle choisi.

je pensais aussi qu'on pouvait procéder de cette façon:

* Ecriture de l'aire en fonction de x :
S(x)= - x² + px/2

* Mise sous forme canonique du trinôme S(x) :
S(x)= -(x - p/4)²+ p²/16

* Recherche d'une valeur maximale pour S(x) :
S(x) est maximale lorsque x = p/4

Le maximum est alors p²/16, et le rectangle est un carré.


enfin je ne sais pas si c'est vraiment la bonne méthode pour un problème d'optimisation...

mais je pense que cette aide va m'avancer!!...
Merci énormément!