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Enigmo 132 : la tasse de thé chaud

Posté par
jamo Moderateur
02-09-09 à 18:47

Bonjour,

voilà, la rentrée est passée, les premières copies à corriger vont bientôt arriver.
Afin de rester zen pendant la correction, j'ai l'habitude de boire du thé (souvenez-vous : Enigmo 77 : La tasse infernale ).

Me revoilà donc avec ma tasse à me poser des questions ...

Cette fois-ci, je me suis retrouvé avec ma tasse et le thé trop chaud pour le boire. Afin de le refroidir sans avoir à me déplacer, je me suis dis que l'évacuation de chaleur devait être proportionnelle à la surface d'échange entre le liquide et l'air.
Donc, il me suffit de pencher la tasse au maximum afin d'augmenter cette surface ...

Voici les données du problème : la tasse est cylindrique, de diamètre 7 cm, et il y a 2 cm entre le bord de la tasse et la surface du liquide (voir dessin).
Petite remarque : la hauteur de liquide est supérieure à 2cm.
La tasse est penchée au maximum lorsque le liquide vient affleurer le bord de la tasse (voir dessin).

Question : quel est le rapport des deux surfaces ?
Je veux le rapport entre la surface maximale (tasse penchée au maximum) et la surface minimale (tasse droite), qui est donc un nombre supérieur à 1. Pour la précision, je veux 4 chiffres après la virgule.

Bonne recherche !

Remarque : à quand un mug "Ile des maths" ?

Enigmo 132 : la tasse de thé chaud

Enigmo 132 : la tasse de thé chaud

Posté par
LeDino
1.0400 02-09-09 à 19:01

perduBonjour,

Le rapport entre Surface max et Surface min est de : 1.0400
Le bénéfice de surface n'est donc que de 4%.

Démonstration :
La section d'un cylindre et d'un plan est une ellipse.
La surface d'une ellipse est donnée par PI.a.b, ou a et b sont les demis axes.
L'un des axes reste constant.
Le rapport de surface est donc simplement le rapport entre le grand axe de l'ellipse et le diamètre de la tasse.

D'après Pythagore, le grand axe vaut racine(7²+2²).
Le résultat en découle.

Merci pour l'énigme.

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 19:05

gagnéBonjour Jamo,

Le rapport des surfaces, sauf erreur de ma part, doit valoir \frac{\sqrt{16,25}}{3,5}

C'est à dire environ 1,1518 arrondi à 4 décimales.

Je ferai suivre une explication plus tard.

Cordialement

MM

Posté par
jimss
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 19:06

perduBonsoir,
Je propose : 1.3265

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 19:08

gagnéJe trouve un rapport de 1,1517511...., soit arrondi à 4 chiffres 1,1518.

Posté par
olive_68
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 19:20

perduSalut à tous

Je dirais que le fait 1,0000

Ca sent le poisson

Posté par
olive_68
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 19:21

perduEuh plutôt "ça" au lieu de "le"

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 19:50

gagnéBonsoir Jamo,

rapport des surfaces = 1,1518

la surface est une ellipse

   grand axe = 65 cm
   petit axe = 7 cm

surface de l'ellipse = *7*65/4 cm2

surface de base = *3,52 cm2

rapport des surfaces = 65/7 = 1,151751107

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 20:00

gagnéBonjour,

Je propose un rapport de 1,1517.

La surface du thé dans le verre penché est une ellipse de grand côté 65 et de petit côté 7 (le diamètre du verre).
Le rapport est donc égal à 65/7

Posté par
manpower
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 20:05

gagnéBonsoir,

hum... heureusement qu'il y a plus de 2cm de thé...
Bon, sauf piège, cette Enigmo ne semble pas mériter ces 3 étoiles, si ?


Le disque de diamètre 7cm a une aire de 3,5²
et la section elliptique de petit axe 7cm et de grand axe \sqrt{65}cm une aire de 3,5\sqrt{65}/2;
ce qui nous fournit un rapport de \sqrt{65}/7 soit 1,1518 (arrondi de 1,1517511...).

Merci pour cette Enigmo stimulante comme le thé (bon moi je préfère le café!)

Posté par
dpi
tasse de thé 02-09-09 à 20:42

perduMa poissonnerie s'est enrichie d'un nouveau poisson grave à une bombe intervertie ,mais en vieil obstiné je continue
Cette énigme est trop facile pour être honnête
1/nous avons une ellipse dont le grand diamètre peut se calculer par pythagore  (racine de 7x7+2/2) et le rapport est de 1.0400
2 par le calcul de l'angle avrc tangente = 2/7-->19°945 -->le grand diamêtre étant diamètre de la tasse /cos() nous retrouvons notre rapport 1.0400 et comme la surface du cercle et de l'ellipse auront le même rapport cela confirme 1.0400

Posté par
geo3
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 21:26

perduBonsoir
La section pour le verre penché étant une ellipse de grand axe (7²+2²) = 53 et de petit axe 7 son aire = .53/2.3,5
Le cercle a pour aire 3,5²
Leur rapport = 53/7  = 1,0400
A mon avis je suis bon pour 1
A+

Posté par
torio
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 21:47

gagné1.1518

A+
Torio

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 02-09-09 à 23:31

gagnéLe rapport maximum est 1,1518 arrondi au dix millième le plus proche, qui est supérieur.
La surface du thé de droite est une ellipse. Les aires des surfaces sont proportionnelles à leurs grands axes. Celui de la surface de droite est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont 7 et 2*2.
Le rapport est donc 65 / 7.

Posté par
13or
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 08:26

gagné1,1518

Merci jamo pour l'énigmo.

Posté par
Rudi
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 10:34

gagnéBonjour

===== Réponse proposée =====

1,1517  (racine(65)/7)

===== Méthode employée =====

A moins de m'être trompé et de ne pas avoir vu le piège justifiant les 3 étoiles, je propose ceci :

La section plane d'un cylindre de révolution fournit une ellipse dont :
- le grand axe est la distance des point extrêmes des génératrices du cylindre,
- le petit axe est le diamètre du cylindre.

Enigmo 132 : la tasse de thé chaud

En inclinant la tasse d'un angle t avant versement, les volumes V1 et V2 sont nécessairement égaux par symétrie; par suite, le centre O reste inchangé au cours de l'inclinaison et sera le centre de l'ellipse.
Ce qui permet de calculer facilement le grand axe, PQ, par Pythagore : PQ²=(2d)²+(2R)² => PQ = 2racine(d²+R²)

La surface de l'ellipse est égale à S = pi.(demi-grand axe)(demi-petit axe) = pi.(OP/2).(R) = pi.R.racine(d²+R²)

Le rapport des surfaces vaut R = S/(pi.R²) => R = racine( 1 + (d/R)² )

Sauf erreur de raisonnement ou de calcul

========= Extensions d'énoncé ==========

1) On peut envisager deux inclinaisons de la tasse, la première d'un angle t1 et la seconde, perpendiculaire, d'angle t2.
Je pense (mais n'en suis pas certain) qu'on doit trouver le même résultat, mais je n'arrive pas à bien voir en 3D et à le démontrer correctement.

2) On peut aussi envisager que la hauteur de liquide est inférieure à 2 centimètres.
Là, je pense que du calcul intégral est nécessaire.

Rudy

Posté par
evariste
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 10:48

gagné1,1518

Posté par
Atea
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 12:13

gagnéBonjour,

J'ai trouvé un rapport d'environ 1,1518.

Posté par
pythamede
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 13:36

gagnéVoici ma réponse : \frac{\sqrt{65}}{7} \approx 1,15175110 arrondi à 1,1518

Posté par
shboul
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 14:08

gagnéalors voyons voir si je ne me trompe pas.
soit b le rayon de la tasse. lorsqu'on la penche, la surface devient une ellipse de demi-petit axe le rayon de la tasse (donc b) et de demigrand axe l"hypothénuse du triangle formé (noté a)
Aire du cercle : pi*b*b
Aire de l'ellipse : pi*a*b
donc le rapport des deux surfaces donne
(pi*a*b)/(pi*b*b)=a/b
donc le ration nous donne à calculer sqrt(7²+4²)/7=1.1518
voila, en esperant ne pas m'être trompé

Posté par
Gupta
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 16:55

perdu1.0816

Posté par
Labo
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 17:10

gagnébonjour jamo,
valeur à 0,0001 près par excès :1,1518
valeur exacte √65/7
ellipse de grand axe a=√(72+42)/2=√65/2
et de petit axe b=3,5
aire ellipse =πab
aire du disque=πb2
rapport=a/b
sauf erreur.

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 18:13

gagnéj'avais promis de mettre une justification, donc voilà :
je note a=3,5 le rayon de la tasse.
quand on la penche, la surface est une ellipse dont le grand rayon est noté b (sur le dessin de gauche, le trait correspondant à la surface du liquide vaut 2b) et dont le petit rayon vaut a.
Si on découpe le dessin de gauche et qu'on superpose les bords de la tasse (avec transparence !) au dessin de droite, on s'aperçoit que b est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les autres côtés valent a et 2.
Donc b=racine(2²+3,5²)=racine(16,25)
Et le rapport des aires vaut (pi*a*b)/(pi*a²) c'est à dire b/a
D'où le résultat de racine(16,25)/3,5
Cordialement à tous
MM

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 03-09-09 à 19:07

perduBonjour jamo et merci pour cette super enigme !

Je propose comme réponse littérale

\tau = \sqrt{(\frac{49\pi}{\pi.r^3+8r^3/3})^2+1} , avec r = \frac{7}{2} le rayon de la base circulaire de la tasse.

Cela nous donne un résultat approché \tau \approx 1,1756 arrondi à 10^{-4}.

Voilà tout même en cas d'erreur je me serais bien amusé à résoudre cette énigme

Posté par
1992
reponse sur l'enigme 03-09-09 à 19:10

perdusurface maximal=41.6261
surface minimal=38.4845

Posté par
1992
repons 03-09-09 à 19:23

perduSmx=1.0816Smin

Posté par
Cellix
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 04-09-09 à 13:35

perduAire de la surface à plat :
Am = 3,5².Pi

Aire de la surface lorsque mug penché :
AM = (7²+2²)¼.3,5.Pi/2

Après un bref calcul, le rapport AM/Am nous donne 1,0400

Posté par
esta-fette
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 04-09-09 à 13:49

perdu\frac {sqrt{53}} 7

car l'aire = \pi \times grand rayon \times petit rayon

le grand rayon passe de 7 à {sqrt{53}}
le petit rayon passe de 7 à 7

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 04-09-09 à 14:38

perduBonjour,

Ma réponse : 1,0400

Démonstration :
- la surface minimale est un disque de rayon R=7 donc d'aire : A_{min}=49\pi
- la surface maximale est délimitée par une ellipse de petit axe a=7 et de grand axe b=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53} donc d'aire : A_{max}=7\sqrt{53}\pi

donc le rapport recherché vaut :
\frac{A_{max}}{A_{min}}=\frac{7\sqrt{53}\pi}{49\pi}=\frac{\sqrt{53}}{7}=1,0400

Posté par
alfred15
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 04-09-09 à 18:43

perduBonjour,


très rapidement et en supposant que la nouvelle surface est une ellipse, je dirais que le rapport des surfaces est :

\frac{\sqrt{53}}{7} 1,0400

autant dire que ça ne vaut pas vraiment le coup de risquer le débordement et de se bruler un doigt ...

Merci

Posté par
dhalte
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 04-09-09 à 20:06

gagnéBonjour

3$\frac{\sqr{65}}7\approx 1.151751

Arrondi à 4 décimales : 1.1518

Enigmo 132 : la tasse de thé chaud

Le volume hachuré sur les deux figures est identique.
Par symétrie du triangle hachuré, nous avons alors H=4

A droite, l'ellipse a pour grand axe \sqr{7^2+4^2} et donc pour surface \frac{\pi}4\sqr{65}\times7

D'où la valeur du rapport de la surface de l'ellipse à celle du cercle.

Posté par
myself
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 05-09-09 à 01:54

perduBonsoir

Je vais tenter 3$r \approx 1,3265 (avec r le rapport entre les deux surfaces)

En valeur exacte, 3$r = \frac{\pi \times \left( \frac{\sqrt{65}}{2} \right)^2}{\pi \times \left(\frac{7}{2} \right)^2} = \frac{65}{49}

Posté par
kiko21
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 05-09-09 à 16:23

gagnéBonjour,

Je trouve un rapport de surface égal à 1,1518

Merci et A+, KiKo21.

Posté par
sacharit
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 05-09-09 à 19:22

gagné1.1518

Posté par
integral
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 05-09-09 à 23:40

gagnéBonjour, je trouve un rapport de (65)/7 1.1518.
Merci pour l'énigmo

Posté par
daxtero
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 06-09-09 à 15:13

1.1518

Posté par
LeDino
Précipitation.... 07-09-09 à 11:02

perduZut, c'était trop beau... Ayant confondu vitesse et précipitation, j'ai conclu une démonstration valable par un calcul faux...

Au lieu de racine(1+2²/7²) = 1.0400, il fallait prendre racine(1+4²/7²) = 1.1518

Dommage...

Posté par
Laje
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 07-09-09 à 15:52

perdu1,15175

Posté par
gloubi
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 08-09-09 à 12:41

gagnéBonjour jamo,

Je trouve 3$\rm \frac{\sqrt{65}}{7} soit environ 1,1518

Merci pour l'énigme.  

Posté par
castoriginal
Enigmo 132 la tasse de thé chaud 08-09-09 à 15:39

perduBonjour,
considérons le volume de liquide quand la tasse est droite. Si H est la hauteur de la tasse, on a V= (H-2)*Pi (7)^2
Quand la tasse est penchée, on peut considérer que l'on a de nouveau un cylindre de liquide dont la hauteur H1, mesurée sur l'axe de la tasse, représente la valeur moyenne de la hauteur de liquide par rapport à la base de la tasse.
On a le volume de liquide V= H1 *Pi (7)^2   on en tire que H1= H-2.
Dans le triangle ABC on voit que CB = 4cm. en appliquant Pythagore au triangle ABC, il vient (AC)^2 + (CB)^2 = (AB)^2   (AB)^2 = (7)^2 + (4)^2 = 65  AB = 8,0622577
La surface du liquide lorsque la tasse est penchée est représentée par un ellipse de grand axe AB et de petit axe de longueur 7cm.
La surface de l'ellipse est donnée en fonction des demi-axes  S = Pi*a*b   avec
a = AB/2 et b=7/2       S = Pi *AB/2* 7/2
La surface du liquide, lorsque la tasse est droite vaut S1= Pi x 7/2 x7/2
Le rapport des deux surfaces est donc de S/S1  soit AB/7
On trouve 8,0622577/7   soit   1,0437

Enigmo 132 la tasse de thé chaud

Posté par
castoriginal
Enigmo 132 la tasse de thé chaud 08-09-09 à 15:44

perdupetite rectification qui ne change rien au résultat.
Dans les calculs de volume de liquide, il faut prendre 7/2 au lieu de 7cm (rayon au lieu de diamètre)!
Bien à vous

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 10-09-09 à 11:49

gagnéBonjour !

Bon je me lance hasardeusement, voici ma réponse :

Le rapport des deux surfaces est d'environ 1,1518 (arrondi au dix-millième près).

En fait j'ai trouvé que la valeur exacte de ce rapport est de \frac{\sqrt{45}}{7}. Mais si cela se trouve ce résultat est complétement faux car je n'ai peut-être pas bien compris l'énoncé du problème.

Voilà merci !

Posté par
Maher_91
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 10-09-09 à 18:14

perdubonjour,
Enigmo 132 : la tasse de thé chaud

s1 : l'aire de la surface maximale.
s : l'aire de la surface minimale.
r1= le rayon du grand cercle (la surface maximale).

s=38.465.
d1= \sqrt{7^2+x^2}
or \frac{S*X}{2}=s*2 (les 2 aires vides des 2 positions différentes sont égales)
d'ou x=4
donc d1=\sqrt{65}=8.0622 d'ou r1=4.031
alors s1=51.025
donc le rapport entre la surface maximale et la surface minimale est \frac{51.025}{38.465}=1.3265

Posté par
carpediem
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 10-09-09 à 19:14

gagnésalut

allez pour voir je dirais : 1.1518 (valeur arrondie de (65)/7

la surface est une ellipse (de grand axe la diagonale d'un rectangle de dimension 4-7 en supposant que ce qui monte d'un côté descend de l'autre pour des raisons de symétrie par un plan perpendiculaire à l'axe de symétrie de la tasse)

MO

Posté par
Juliianoo
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 10-09-09 à 22:20

perduSoit R le rapport des 2 surfaces,  R = S2/Si, R = 1.2857

Posté par
castoriginal
Enigmo 132 la tasse de thé chaud 10-09-09 à 22:26

perduBonsoir,
je constate que ma calculette qui a plus de 15 ans déraille, je vais devoir la remplacer ! La réponse qui vaut 8,0622577/7  est 1,1517511

Bien à vous

Posté par
Francois86
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 11-09-09 à 11:49

gagnéLa valeur exacte du rapport cherché est (65) / 7.
Soit 1,1518 à 0,0001 près.

Posté par
Benwat
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 12-09-09 à 15:17

gagnéC'est la première fois alors je ne sais pas s'il faut donner d'explication.

En bref, la surface tasse penché est une éllipse E , tasse droite elle est un cercle C.
On note a demi grand axe de E, et b demi petit axe de E. Naturellement b est également le rayon de C.

Le rapport demandé A(E) / A(C) se simplifie simplement et vaut donc a/b

b=7/2=3.5

On obtient la valeur de a avec le théorème de Pythagore qui nous donnes la relation suivante :
a²=b²+2²
Après calcul on obtient a4.0311 (cette valeur imprécise n'est pas conservé pour les calculs suivant).


Le raport vaut 1.1517 (sans arrondi) ou 1.1518 (avec arrondi) !

Posté par
amouna
re : Enigmo 132 : la tasse de thé chaud 12-09-09 à 22:13

perdu160.0168cm²

Posté par
aajli
reponse ^^ 15-09-09 à 22:48

perduje pense que c  0.2801

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