Bonjour tout le monde,
c'est en mangeant une part de tarte (ou de pizza, je ne sais plus) que m'est venu l'idée de cette énigme.
On considère une part de tarte comme un secteur angulaire (OAB) comme le montre la figure ci-dessous. Le point O est le centre de la tarte, donc les longueurs OA et OB sont égales au rayon de la tarte qui est de 16 cm.
J'ai remarqué que j'aime souvent découper une "bande" sur une part de tarte, je ne sais pas pourquoi.
Et donc, j'ai découpé une bande à l'aide d'un coup de couteau parallèlement au côté [OB] de la tarte.
Cette bande a une largeur de 3 cm.
J'obtiens alors une sorte de nouveau secteur angulaire (MAC), et en mesurant ses côtés, je trouve une différence de 2 cm (la différence entre les longueurs MA et MC ... ou entre MC et MA, je vous laisse y réfléchir).
Question : Quel est l'angle de la part de tarte initiale ? Donner la réponse en degrés avec une précision au centième de degrés.
Si vous pensez que le problème est impossible, vous répondrez "problème impossible".
Sinon, attention de bien donner la réponse avec l'unité et la précision demandée.
Bonne recherche !
Bonjour,
Après pas mal de calcul (et de gros doutes) je trouve un angle de 15,439°
La précision au centième revient à dire : 15,44°
Bonjour
Je trouve un angle de 74.56 degrés.
Les longueurs résultantes sont de 12.88 pour MA et 14.88 cm pour MC.
Merci pour l'Enigmo !
Bonjour,
L'angle de la part de tarte initiale est de 74.56 degrés.
Merci pour cette énigme géométrique !
Bonjour Jamo,
Comme il est midi, je vais donc dîner avec une part de tarte d'un angle au centre
de 67,38° arrondi par défaut à 1/100è de °
[(67,385 +/- 0,005)° pour le physicien]
Merci pour l'énigme
Bonjour et merci pour l'énigme,
Je trouve que l'angle de la part de tarte initiale est d'environ .
À bientôt !
Bonsoir Jamo, bonsoir tous!
Je propose problème impossible (une fois n'est pas coutume), non sans audace et peur à la fois...
Grâce à l'homothétie de centre A et de rapport OA/MA qui transforme le triangle MAC en OAquelquechose, on se convainc vite que MC est supérieur à MA. On pose alors MC-MA=2, on exprime tant bien que mal MC et MA en fonction de l'angle en O (si j'ai commis une erreur, c'est à ce niveau), et on résout l'équation obtenue pour trouver ledit angle. Dans mon cas, il y a bien une solution à l'équation, mais elle est incompatible avec le problème (la bande taillée devient plus grande que la part de tarte initiale).
Sinon, serait-il possible de recevoir la tarte en question pour de meilleures analyses (dans un but purement mathématique, bien sur)?
Bonjour,
Je pense que l'angle de la part initial, qui est aussi celui de la nouvelle part, est de 74,56°
Merci pour cette énigme très originale
74,56°
bonjour et merci Jamo
Une réponse rapide avec GeoGebra
(pour placer un point à une distance de 3 sur la tangente au rayon OE de longueur 16 :
Point[E, Vecteur[VecteurOrthogonal[Segment[O, E]] / 16 (-3)]]
-3 ou +3 selon le coté voulu)
et la valeur exacte avec Xcas:
(si Arcsin donne la réponse en degrés, sinon )
merci Jamo de nous régaler.
rahh chiant, les équations avec du sinus et cosinus !! xD
Sinon un angle d'environ 67.380 degrés ! Apres "dichotomie" de ma calculette lol
Bonjour Jamo.
L'angle AOB mesure 74,56° si MC-MA = 2 cm et 24,76° si MA-MC = 2 cm.
soit g l'angle
MA = 16-3/sin(g)
CA = √[(MA*sin(g)²+(MC-MA*cos(g))²]
(CA) = g-asin(3/16)
CA = 32*sin((CA)/2)
les deux expressions de CA doivent être égales
Bonjour,
Je reviens pour la démonstration.
Deux manières de trouver la solution. Soit on fait la figure sur GeoGebra, on fait varier manuellement l'angle de départ jusqu'à trouver une différence de 2cm, ce qui ne prend que quelques minutes, soit on décide d'être plus rigoureux et de faire une démonstration.
Soient et tel que et . Alors est un repère orthonormé et c'est dans ce repère que je vais travailler.
Soit D l'intersection de (MC) et de (AB). Dans le triangle OAB, (MD)//(OB), le théorème de Thalès s'applique, les côtés des triangles OAB et MAD sont par conséquent proportionnels, donc ces triangles sont semblables.
Puisqu'ils sont semblables et que OAB est un triangle isocèle en O, alors MAD en est un également en M : MA=MD. MC>MD donc MC>MA, c'est donc la différence entre MC et MA qui fait 2cm. Et puisque MA=MD, DC=2cm.
Objectif : déterminer DC en fonction de l'angle initial que j'ai appelé et résoudre DC=2.
1. Equation du cercle
Si P est un point du cercle c, alors :
On ne gardera que la valeur positif pour faciliter l'exercice.
Donc l'équation du cercle c est .
2. Coordonnées de B en fonction de
Donc .
Pour déterminer l'ordonnée, on utilise l'équation du cercle :
Finalement, .
3. Coordonnées de M en fonction de
OME est un triangle rectangle, donc la trigonométrie s'applique :
Donc
4. Pente de (OB) en fonction de
5. Equation de (MD) en fonction de
(OB)//(MD) donc ces droites ont la même pente m.
.
6. Coordonnées de C en fonction de
C est le point d'intersection entre (MD) et le cercle c. Il faut donc résoudre le système :
XCas trouve pour l'abscisse :
Pour l'ordonnée, on utilise l'équation du cercle :
Donc
7. Longueur MA en fonction de
8. Longueur MC en fonction de
9. Longueur DC en fonction de
Voici donc l'équation à résoudre pour trouver :
L'équation complète (avec juste ) est :
sqrt(256.0-(1/((16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^3+16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))*((16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^3*3.0/sin(theta)+sqrt((-(16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^4)*(3.0/sin(theta))^2+256.0*(16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^4+256.0*(16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^2)))^2+(1/((16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^3+16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))*((16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^3*3.0/sin(theta)+sqrt((-(16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^4)*(3.0/sin(theta))^2+256.0*(16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^4+256.0*(16.0*sqrt(1.0-cos(theta)^2)*0.0625/cos(theta))^2))-3.0/sin(theta))^2)-16.0+3.0/sin(theta)=2
C'est joli non ?
Comme il n'est pas possible d'isoler , et bien on fait varier pour que la valeur de cette expression infernale soit la plus proche possible de 2.
Avec une précision de 10 décimales (ce qui n'est vraiment pas mal), la réponse est 1,3013315332 radians soit :
Voilà, à bientôt !
Bonjour Jamo,
Si je ne me trompe pas, l'angle cherché vérifie : , dont la solution exacte est ,
ce qui donne pour la réponse demandée :
Bonjour,
Dès mon retour,j'ai participé à la découpe...
Je trouve que tu t'étais servi un belle part
de 74.56 °
Bonjour,
Après de longues recherches et des expressions barbares, je trouve que l'angle de la part de tarte initiale est, arrondi au centième, de 74,80°.
J'ai d'abord déterminé les coordonnées de A et de B dans un repère orthonormal de centre O.
Ensuite, partant de l'approximation vérifiée à l'aide de Geogebra l'arc AC est environ de longueur 3 cm, j'ai déterminé l'angle AOC en fonction de l'angle de la part de tarte initiale.
J'en déduis les coordonnées de C, et une équation cartésienne de la droite (MC), de vecteur directeur OB.
Je détermine alors les coordonnées de M, intersection entre Ox et (MC).
Connaissant les coordonnées de A, C et M, j'exprime les distances MC et MA en fonction de l'angle initial.
A l'aide d'un algorithme de dichotomie, je détermine alors la valeur de l'angle de la part de tarte initiale pour laquelle abs(MC-MA)=2.
Voilà !
Bonjour à tous,
Je propose:
74,56 degrés
résultat obtenu sur TI 92 comme résolution de l'équation:
3/sin(x)-3/tan(x)+247^1/2-16=2
re bonjour
J'ai vérifié sur "geogebra" qui donne le bon résultat au 100 ième près.
Ce qui fait gagner du temps...
Bonjour
De manière générale soit le rayon de la tarte, l'épaisseur de la bande découpée et l'angle de la part initiale.
On montre facilement que la différence des longueurs s'exprime par :
On remarque que et que la fonction s'étudie sur l'intervalle
En dérivant on obtient qui est strictement positive, donc est strictement croissante, continue.
C'est une bijection de dans . Ce qui prouve au passage que est toujours supérieur à .
Enfin par le changement de variable on montre que la solution de l'équation avec est :
Application numérique : pour , et on obtient
Merci pour l'énigme
l'angle est de 1.32 degrés (arrondi au centième)
résolution sans trop de difficultés dans le corps des complexes pour ma part
Salut à tous,
Je vais donner une réponse qui ne me satisfait pas, car je n'ai pas trouvé de moyen formel de calculer cet angle et je me suis rabattu sur une méthode géométrique.
Je trouve un angle de 74.56 degrés
Kidamicalement
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