bonjour
voici les aires que je propose
- triangle gris EGH : 4
- triangle bleu FIG : 104
- triangle violet CDI :208
- triangle rose BDH : 108

pour les dimensions du grand rectangle, on peut (par exemple) prendre une hauteur de 39 et une largeur de 24, la surface totale doit faire 936 m², le point F doit se trouver à un tiers de la hauteur, et le point E aux trois quarts de la largeur.

pour la méthode, je repasserai dans un "post" ultérieur
merci pour ce beau "quatre étoiles"

Bonjour jamo,

Valeurs de 4 aires inconnues

- triangle gris EGH : 4 m2
- triangle bleu FIG : 104 m2
- triangle violet CDI : 208 m2
- triangle rose BDH : 108 m2

Merci pour cette énigme agricole et géométrique !

Bonjour à tous.

Aire du triangle EGH : 4 m²
Aire du triangle FIG : 104 m²
Aire du triangle CDI : 208 m²
Aire du triangle BDH : 108 m²

Merci pour l'énigme

Par tâtonnement, je trouve (en m² arrondi au centième le plus proche):
- EGH=4,03
- FIG=103,89
- CDI=207,60
- BDH=107,75

Les dimensions du rectangle sont 40,00m sur 23,38m

Bonjour
Dans l'ordre demandée on a : 4, 104, 208, 108
Le rectangle fait 52x18
Méthode : établissement de formules générales puis, pour éviter de résoudre un système à 7 inconnues, un petit programme en Basic. Puis vérification graphique.

Mon programme donnait une 2e solution qui donne les mêmes surfaces pour un rectangle différent de 24x39.

Bonjour,

Ma solution :

  - aire EGH = 4 m²
  - aire FIG = 104 m²
  - aire CDI = 208 m²
  - aire BDH = 108 m²

Merci !

Bien cordialement,

Bonjour
- triangle gris EGH  = 4 m²
- triangle bleu FIG  = 104 m²
- triangle violet CDI = 208 m²
- triangle rose BDH = 108 m²
Merci
Dimensions du rectangle 39 sur 24
A+

Bonjour

J'ai trouvé pour les aires (valeurs entieres)

EGH = 4
FIG = 104
CDI = 208
BDH = 108

Il y a de nombreux rectangle respectant ces dimensions.

Quelques uns sous la forme (on place A en 0,0)
xB yC xE yF
4.000000 234.000000 3.000000 78.000000
8.000000 117.000000 6.000000 39.000000
12.000000 78.000000 9.000000 26.000000
24.000000 39.000000 18.000000 13.000000
52.000000 18.000000 39.000000 6.000000
104.000000 9.000000 78.000000 3.000000

Méthode utilisée : bruteforce sur les valeurs entières, suite à la flemme de poser toutes les équations.
Il semblerait que seuls xI et yH soient importants pour le problèmes, apparemment, ils déterminent tout

En fait, il semblerait que la condition nécessaire et suffisante soit:
aire du rectangle = 936m2
E à 3/4 de AB
F à 1/3 de AC

Bonjour Jamo,
Sans aucun calcul, avec géogébra (merci)

Aire EGH=4 (m²)
Aire FIG=104 (m²)
Aire CDI=208 (m²)
Aire BDH=108 (m²)
AB=39 (m)
AC=24 (m)
Merci pour l'énigmo.

triangle gris EGH          aire  EGH=    4m²
triangle bleu FIG           aire   FIG= 104m²
triangle violet CDI        aire   CDI=  208m²
triangle rose BDH         aire   BDH= 108m²



Bonjour et merci Jamo

CDI=208
BDH=108
FIG=104
EGH=4
les dimensions du rectangle sont 36 et 26.
Je tiens à remercier geogebra pour établir cette conjecture

Bonjour à tous,

voici en image la solution de cette Enigmo avec les dimensions du rectangle L x h. Note : les valeurs trouvées sont des valeurs entières,
on a : triangle EGH = 4m²
triangle CID = 208 m²
triangle FIG = 104 m²
triangle HBD = 108 m²



En complément,voici la méthode utilisée
Pour aborder cette énigme, on considère d'abord que la position des points F et E détermine toute la géométrie de la figure. On définit donc comme variables L,h et y,x .
Ensuite il faut considérer que les sommes  CID + IGHD + GHE et FIG + HVD + IGHD valent toutes les deux S/2 la moitié de la surface du rectangle Bxh.
Pour trouver une solution, il faut diviser la surface du rectangle en petites surfaces facilement calculables et toutes exprimées en fonction de y et x.
Note: au début je me suis planté parce que j'ai pris dans mon calcul automatisé, les surfaces déjà connues telles quelles. Il faut les exprimer en fonction des côtés dépendants de x et y.

  

amitiés

Bonsoir,

curieusement le rectangle ABCD est pratiquement un "rectangle d'or"
le rapport L/h = 39/24 = 1,625   ( =1,618)

Bonjour et merci Jamo

triangle gris EGH          aire  EGH=     4m²
triangle bleu FIG           aire   FIG= 104m²
triangle violet CDI        aire   CDI= 208m²
triangle rose BDH         aire   BDH= 108m²


AB=6*sqrt(26)*k
AE=(9*sqrt(26)/2)*k
AC=(6*sqrt(26))/k
AF=(2*sqrt(26))/k




Ma méthode :
Avec Xcas :
On place les points dans un repère .
On détermine les équations des droites (FD) (FB) (CE) (ED)
ensuite les coordonnées des intersections.
On en déduit des expressions pour le calcul des surfaces.
Pour simplifier les équations ( Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume):
AC=w/k
et
AB=w*k

AE=t*w*k
EB=(1-t)*w*k
AF=r*w/k
FC=(1-r)*w/k

s143=sAFGE=sAFG+sAGE
sCDI=sFCD-sFCI=sFCD-104
sFIG=sACE-sFCI-sAFGE=sACE-104-143
sBDH=sBDE-sBHE=sBDE-9
sEGH=sAFB- sAFGE-sEHB= sAFB-143-9
dans les formules des surfaces, k disparaît
On a alors 3 équations à 3 inconnues que Xcas a la bonté de résoudre (je n'en suis pas capable)
La ligne de supposons limite les solutions au domaine indiqué.
d'où avec Xcas (ou Xcas en ligne)(copier coller les lignes une par une (ou par bloc, mais la réponse est alors dure à lire)):

xa:=0;ya:=0;xe:=p;ye:=0;xb:=p+q;yb:=0;xf:=0;yf:=n;xc:=0;yc:=n+m;xd:=p+q;yd:=n+m;
n:=t*w/k;m:=(1-t)*w/k;p:=r*k*w;q:=k*w*(1-r);
supposons(r>0 and r<1);supposons(t>0 and t<1);supposons(w>0 );

fb:=unapply(simplify((yf-yb)/(xf-xb)*x+n),x);
fd:=unapply(simplify((yf-yd)/(xf-xd)*x+n),x);
ce:=unapply(simplify((yc-ye)/(xc-xe)*x+n+m),x);
ed:=unapply(simplify((ye-yd)/(xe-xd)*x-(ye-yd)/(xe-xd)*p),x);

xI:=solve(ce(x)=fd(x),x);xI:=simplify(xI)[0];yI:=simplify(ce(xI));
xg:=solve(ce(x)=fb(x),x);xg:=simplify(xg)[0];yg:=simplify(ce(xg));
xh:=solve(ed(x)=fb(x),x);xh:=simplify(xh)[0];yh:=simplify(ed(xh));
w:=sqrt(w2);

s104:=simplify(m*xI/2);
s9:=simplify(q*yh/2);
s143:=simplify(n*xg/2+yg*p/2);

sol:=solve([s143=143,s104=104,s9=9],[w2,t,r]);evalf(sol) ;

w2:=sol[0,0];t:=sol[0,1];r:=sol[0,2];w;

simplify([n,n+m,p,p+q]);evalf(simplify([n,n+m,p,p+q]));

sCDI:=simplify(m*(p+q)/2-104);

sFIG:=simplify(p*(m+n)/2-104-143);

sBDH:=simplify(q*(m+n)/2-9);

sEGH:=simplify(n*(p+q)/2-143-9);

k:=1;

simplify([n,n+m,p,p+q]);evalf(simplify([n,n+m,p,p+q]));

cor:=simplify([xI,yI,xa,ya,xe,ye,xb,yb,xf,yf,xc,yc,xd,yd,xh,yh,xg,yg]);

evalf(cor);


(et pour effacer  le contenu des variables:
purge(sCDI,sFIG,sBDH,sEGH,m,n,p,q,w,k,w2,t,r,xI,yI,xa,ya,xe,ye,xb,yb,xf,yf,xc,yc,xd,yd,xh,yh,xg,yg,cor,sol,s143,s104,s9);
ou tout effacer :cliquer sur la gomme pour xcas en ligne
),

Bonjour,

Dès mon retour, je me suis bien sûr jeté sur les énigmes qui
au passage sont variées et complémentaires.

Ma méthode est basée sur un tableur paramétré avec des recoupements multiples.

J'ai testé la hauteur issue de I dans le triangle ICD et tout est confirmé
avec 10 m 2/3.

EGH 4 m²
FIG 104 m²
CDI 208 m²
BDH 108 m²

Le rectangle mesure 24 m de largeur et 39 m de longueur soit une surface de 936 m²

- triangle gris EGH : 4m²
- triangle bleu FIG : 104m²
- triangle violet CDI : 208m²
- triangle rose BDH : 108m²

Dimensions du champ : toutes dimensions, pourvu que l'aire totale fasse 936m².

Méthode : la force brute (logiciel Sage) :




La suite au prochain message.

Parmi les solutions algébriques éliminées, cette solution extravertie :

Bonjour et merci, balèze celle-là.
Voici la solution en image :



Quant aux dimensions du rectangle, elles ne sont pas fixes. Voici les 3 conditions nécessaires et suffisantes à respecter pour obtenir toutes les solutions possibles (une infinité) :

ou bien





Dans mon prochain message j'expliquerai ma démarche.

À démontrer, c'est une horreur.
J'avais commencé manuellement, avec 4 variables :



Après beaucoup de tâtonnement sur XCas j'ai trouvé la solution approchée.
En fait je faisais varier ces variables jusqu'à retrouver les aires que l'on connait déjà (je vous laisse imaginer la difficulté avec 4 variables), et puisque la solution est supposée unique, j'en ai déduit la réponse.

Puis j'ai eu la bonne idée de garder seulement la partie entière des solutions approchées, donc 9, 104, 108 et 208.
Après vérification, miracle, ça colle parfaitement.

L'aire totale étant de 936, on déduit que et .

En résolvant deux systèmes, j'ai trouvé comment exprimer f et e en fonction de b et c :



Ce qui permet de rendre la figure tout à fait constructible et d'une infinité de façons différentes.
On retrouve bien les 3 conditions que j'ai évoqué dans mon précédent message.

Cette démonstration est bien sûr inacceptable car elle suppose la réponse connue.
En partant de 0, sans calculatrice ni ordinateur, c'est autrement plus compliqué.

J'ai tout de même essayé, sans aboutir.



On a :



Donc

De même,

On obtient ainsi une relation intéressante : .

J'ai essayé d'intégrer cela dans pleins d'équations (il y en a à foison) mais j'arrive toujours à une impasse.

Autre chose d'encore plus intéressant : dans ce cas particulier (où et on a :

.

Il "suffit" donc prouver de que et et le problème serait pratiquement résolu.

Comment faire ? Alors là...

J'ai hâte de voir la démo des autres !
À bientôt.

Bonjour !

J'obtiens les aires suivantes en m² sans arrondi :
- EGH : 4
- FIG : 104
- CDI : 208
- BDH : 108

J'ai opté pour la méthode analytique, pas simple en calcul : je me suis donné comme inconnues après avoir fixé un repère orthonormal les abscisses de E et B et les ordonnées de F et C (avec les axes bien choisis) donc 4 inconnues puis on détermine (merci Maple) les équations des droites, les points d'intersections I, G et H puis les aires des triangles puis on résout (4 inconnues, 3 équations) donc on a un degré de liberté ce dont ne dépendent pas les aires recherchées. Par contre, les dimensions du rectangle si ! J'obtiens un rapport de 936 entre les longueurs des côtés qui correspond aussi à l'aire total du rectangle. Pour les aires des quadrilatères :
- j'ai scindé FAEG en deux triangles selon (GA)
- j'ai intégré des différences de fonctions affines par morceaux pour DIGH (pas à la main). On aurait pu aussi utiliser la formule de terminale qui donne la distance d'un point à une droite en scindant ce quadrilatère en deux triangles mais cette méthode est plus pénible que pour l'autre quadrilatère.

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Je propose :

- pour EGH : 4 m²
- pour FIG : 104 m²
- pour CDI : 208 m²
- pour BDH : 108 m²

Méthode : non académique et non descriptible. Entre équilibriste, marionnettiste, bidouilleur et pinailleur je suis arrivé à ce résultat. Longueur 36 m et largeur 26 m.

Bonjour,

J'avoue j'en ai bavé pas vous ... mais je pense avoir trouvé!

- triangle gris EGH   :   4 m2
- triangle bleu FIG   : 104 m2
- triangle violet CDI : 208 m2
- triangle rose BDH   : 108 m2

Le rectangle fait 936 m2

Et quand je dis le rapport des longueurs donne l'aire, je veux dire le produit bien sûr ...
Si b est une longeur, l'autre vaut 936/b...

Bonjour,

Réponse:

Les quatre aires inconnues ont des valeurs entières:
aire EGH = 4 m²
aire FIG = 104 m²
aire CDI = 208 m²
aire BDH = 108 m²

Dimensions du rectangle ABCD = 40 m et AD = 23.4 m

Mode opératoire.
Le découpage du rectangle ABCD est totalement déterminé si l'on connaît les points A,B,D,E et F, en d'autre termes si l'on connaît les dimensions du rectangle ABCD et les positions respectives de E et de F sur le côtés AB et AD.
On pose EB = a, AE = p*EB = pa puis AF = b et FD = q*AF = qb avec a,b,p et q nombres réels. Dans le repère orthonormé Oxy avec A confondu avec l'origine O, l'axe des abscisses portant le côté AB et l'axe des ordonnées portant le côté AD, on en déduit :
1)les équations des droites DE, CE, BF et CF de la forme Ax+By=C avec les coefficients A,B et C qui sont des fonctions des paramètres a,b,p et q.
2)les coordonnées des points d'intersection de ces droites G,H et I. Ces coordonnées sont des fonctions de la forme P₁(a,b,p,q)/P₂(a,b,p,q) avec P₁ et P₂qui sont des polynômes.
3)les surfaces des six triangles et des deux quadrilatères contenus dans le rectangle. Elles sont de la forme Q₁(p,q)*ab/Q₂(p,q) avec Q₁(p,q) et Q₂(p,q)polynômes qui ne dépendent que de p et q.

Si les paramètres a,b,p et q sont des nombres rationnels, il en sera de même des surfaces des six triangles et des deux quadrilatères.
Si l'on connaît les surfaces de quatre triangles, on dispose de quatre équations qui théoriquement permettent de calculer les paramètres a,b,p et q.
Avec quatre surfaces qui prennent des valeurs entières, il est naturel de s'intéresser à des configurations avec p et q entiers.
En désignant par u = aire BDH et v = aire EGH, on vérifie aisément que l'on est ramené à la résolution de deux équations diophantiennes:
(p+1)(u+9) = (q+1)(152 +v) = (p+1)(q+1)ab/2 dans lesquelles avec p = 3 et q = 2, on obtient l'équation 3(152 + v) = 4(u + 9) qui a pour solution u = 108 et v = 4.Les deux autres surfaces inconnues ainsi que les dimensions du rectangle sont immédiatement déterminées
L'unicité de cette solution reste à prouver!

Bonjour jamo,

Très bel enigmo, bravo et  merci

Je trouve :

- triangle gris EGH : 4 m²
- triangle bleu FIG : 104 m²
- triangle violet CDI : 208 m²
- triangle rose BDH  : 108 m²

Tous les rectangles dont l'aire totale est de 936 m² et tels que AF = 1/3 AC  et AE = 3/4 AB conviennent.

Quant à la méthode, j'ai pris pour inconnues les rapports AF/AC et AE/AB, ce qui conduit à un système de deux équations polynomiales que le logiciel Xcas m'a résolu.

Encore merci pour l'enigmo

Bonjour Jamo, voici mes propositions en m² exacts, dans l'ordre où tu as cité les polygones :

- CFI :      A1 = 104
- BHE :     A2 =  9
- AEGF :   A3 = 143
- DIGH :   A4 = 256
- EHG :    A5 =  4
- FGI :     A6 = 104
- CID :     A7 = 208
- BDH :    A8 = 108

           Total = 936

E est aux 3/4 de AB ,  et F est au 1/3 de AC.
AB et AC ne sont contraints que par le respect de la relation   AB*AC = 936

A+
Torio

Méthode :

Programmation en Python


from math import*
nb = 40
eps = 0.1
pi = atan(1)*4
print(pi)
for a in range(1,nb):
    for b in range(1,nb):
        for c in range(1,nb):
            for d in range(1,nb):
                alpha = atan(b/(c+a))
                beta = atan((b+d)/c)
                x = c/sin(pi-alpha-beta)*sin(alpha)
                alpha2 = atan(a/(b+d))
                beta2 = atan((a+c)/d)
                y = d/sin(pi-alpha2-beta2)*sin(beta2)
                delta = atan((b+d)/a)
                lamda = atan((c+a)/b)
                bb =  (tan(lamda)*b-a) /  (  tan(lamda)-tan(pi/2-delta) )
                aa = -tan(pi/2-delta)*bb+a
                rep1 = x*c*sin(beta)/2
                rep2 = d*y*sin(alpha2)/2
                rep3 = aa*bb+(b-bb)*aa/2 + bb*(a-aa)/2
                if (abs(104-rep1) < eps ) & (abs(9 - rep2) < eps) & (abs(143-rep3) < eps):
                    print("a",a,"  b=",b,"  c= ",c,"  d= ",d)

On trouve deux rectangles possibles :

a =6   b= 39   c=  12   d=  13
a =13   b= 18   c=  26   d=  6

Voir dessin

Il y en a encore d'autres si on cherche plus loin :

a= 3   b= 78   c=  6   d=  26
a= 6   b= 39   c=  12   d=  13
a= 13   b= 18   c=  26   d=  6
a= 26   b= 9   c=  52   d=  3
a= 39   b= 6   c=  78   d=  2

Clôture de l'énigme

En voilà une énigme qui était vraiment difficile !
Nous avons cependant une vingtaine de bonnes réponses, ce qui n'est pas si mal.
Par contre, les méthodes de résolution semblent parfois approximatives !

Certains ont bien remarqué qu'avec les donnés de l'énoncé, on peut trouver plusieurs solutions pour les dimensions du rectangle. Par contre, l'aire du rectangle ainsi que la position relative des points E et F sur les côtés sont fixes.

Pour ceux qui veulent une solution rigoureuse, j'en possède une et je peux l'envoyer. Pour cela, faites-moi une demande par email, mon adresse est sur mon profil.

Merci jamo pour cette énigme.
Les solutions logicielles (XCas et Sage) sont rigoureuses, n'en es-tu pas d'accord ?

Oui, elles le sont ... mais celle que j'ai sous la main ne nécessite aucun logiciel !

Après avoir vu cette solution, je conteste ce dernier point.

Pourtant tout est faisable à la main selon moi.

L'as-tu vraiment fait à la main ?

Bonsoir
=> Frenicle
Si tu pouvais me mettre les 2 équations avec comme inconnues x= AF/AC et y=AE/AB et peut-être comment tu les a trouvés cela me ferait plaisir .
Merci

En voici deux qui font l'affaire avec et :



On les obtient en exprimant la proportionalité des aires avec les données de départ.

Ceci donne, en prenant le résultant par rapport à e et en factorisant ;

pardon, .

Pour compléter ma réponse à geo3, voici une feuille Sage qui doit correspondre peu ou prou à ce qu'a fait frenicle :




Pour faire plaisir à Jamo, on pourrait sans doute faire une bonne partie de ces calculs à la main . J'ai tout de même un gros doute pour la factorisation du résultant.

Bonjour.
En accord avec GaBuZoMeu en ce qui concerne la solution proposée par Jamo, je doute que l'on puisse trouver les racines de l'expression R sans logiciel, 3/4 ne me semblant pas être une racine évidente.

Bonjour,

Bon, GaBuZoMeu a déjà presque tout dit, mais voici quelques précisions :

J'ai d'abord supposé que le jardin était un carré de côté égal à 1 et j'ai pris comme inconnues l'abscisse de et l'ordonnée de .
J'ai obtenu les équations des différentes droites :



Puis les coordonnées des points d'intersection



Puis les aires :



  (trianguler)

(Plus les formules donnant les aires inconnues que je ne reproduis pas, mais qui sont du même genre.)


Ensuite, j'ai écrit les rapports des aires :   et .
J'ai obtenu le système :



Jusque là, tout va bien à la main.

Après, ça se complique. Je n'ai pas su faire à la main. Je n'avais pas pensé au résultant

J'ai fait deux choses :

1°) demander à Geogebra de tracer les deux courbes et leurs intersection (commande CourbeImplicite) :




Le seul point qui convient est B sur la figure et Geogebra donne (0,75 ; 0,333333..)


2°) demander à Xcas de résoudre le système (commande solve). Cela confirme comme seules solutions strictement comprises entre 0 et 1.

Ensuite, en remplaçant a par 3/4 et b par 1/3 dans les formules ci-dessus on obtient les aires : 9/936, 104/936, 143/936, 108/936, 208/936 etc. Il suffit de tout multiplier par le "facteur d'échelle" 936 pour obtenir les aires cherchées.

Coquille :

Sur le dessin de Frenicle (intersection des deux courbes) on peut reconnaître (voir la feuille Sage ici Enigmo 305 : Le retour de Madame Tume !) :
  
les points A et D
(-0.33558230, -2.5615528), (1.2105823, 1.5615528)]
et le point E
(1.2270975, 0.39440155)

Le point E correspond à la solution débordante qui figure plus haut.