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énorme prob de barycentre

Posté par dédév (invité) 05-11-04 à 16:49

Bonjour tt le monde. Pouvez vous m'aider à résoudre cet exo?
Soit ABC un triangle et (AG1), (BG1), (CG1) trois céviennes concourantes en un point G1 n'appartenant pas aux droites (AB), (BC) et (AC)(cévienne est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est sécante avec le côté opposé à ce sommet, exemple une hauteur, une médiane...)
On considère alors les trois réels a, b et c de somme non nulle, tels que: G1 soit le barycentre de {(A;a);(B;b);(C;c)}.
1)Démontrer que a, b et c sont différents de 0.
2)Démontrer que a+b, b+c et a+c sont différents de 0.
3)Soit A1 l'intersection des droites (AG1) et (BC) et A2 le symétrique de A1 par rapport au milieu du segment [BC].
a)Démontrer que A1 est le barycentre de {(B;b);(C;c)}.
b)Démontrer que A2 est le barycentre de {(B;1/b);(C;1/c)}.
On définit de la même manière les points B1,B2,C1etC2.
4)Démontrer que (A1B/A1C*B1C/B1A*C1A/C1B)=0.
5)Démontrer que si (1/a+1/b+1/c)=0 alors les droites (AA2),(BB2) et (CC2) sont parrallèles.
6)Démontrer que si (1/a+1/b+1/c)différent de 0 alors les droites (AA2),(BB2) et (CC2) sont concourantes.
Je sais qu'il y a beaucoup de questions mais je n'y arrive vraiment pas. Même si vous n'avez q'une petite piste pouvez vous me l'indiquer? Je suis vraiment désespérer cet exo me pose vraiment problème. Merci d'avance.

Posté par marc999 (invité)re : énorme prob de barycentre 05-11-04 à 18:06

Salut,

Voilà déjà un début:

1) Par définition du barycentre les masses doivent être non nulles donc a0,b0 et c0

2)a+b+c0 et c0 donc a+b0
De la même façon on obtient : a+c0 et b+c0

3)a)A1, B et C sont alignés donc A1 est barycentre des points B et C (affectés de certains coefficients)
D'autre part A, G1 et A1 sont alignés donc A1 est barycentre de A et G1 (affectés de certains coefficients)
Ainsi Par associativité du barycentre A1 a pour masse b+c et puisqu'il est aussi barycentre de B et C, on obtient que A1 est barycentre de (B,b) et (C,c)

b)I est l'isobarycentre de B et C
I est l'isobarycentre de A1 et A2
A1 est barycentre de (B,b) et (C,c)
donc en écrivant en vecteurs , on a :

bA1B + cA1C = 0
bA1I + bIB + cA1I + cIC = 0
bIA2 + bIB + cIA2 + cIC = 0
bIC + bCA2 + bIB + cIB + cBA2 + cIC = 0
(b+c)(IB + IC) + bCA2 + cBA2 = 0
cA2B + bA2C = 0
(c/bc)A2B + (b/bc)A2C = 0
(1/b)A2B + (1/c)A2C = 0
Donc A2 barycentre de (B,1/b) et (C,1/c)

A suivre ...

Posté par dédév (invité)re : énorme prob de barycentre 06-11-04 à 17:13

merci marc999 de m'avoir aider pour les 3 premières questions.

Posté par dédév (invité)re : énorme prob de barycentre 07-11-04 à 15:59

est-ce quelqu'un pourrait m'aider pour la question 5? Merci d'avance.



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