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ensemble de points

Posté par
pasintelligent
09-04-11 à 15:01

bonjour

voilà mon exercice:

"soit abcb  un carré de coté de longueur a.
soit  r l'ensemble des ponts M du plan tels que

||MA-MB+MC|| = a

a. prouver que les points A ET C sont des points de l'ensemble r
b. prouver que B ET D ne sont pas des points de l'ensemble r
c. identifier le barycentre de [(A;1),(B;-1),(C;1)]
d.démontrer qu'un point M appartient à l'ensemble des r , si et seulement si DM  = a . en déduire la nature de l'ensemble de r . tracer l'ensemble r "


je bloque pour le a)

si j'ai bien compris , si A est barycentre de B et c, et C de  A et B , ils sont donc alligné et font donc partis de l'ensemble r ???

si oui , je dois exprimer  A de cette façon :

AA - AB + AC = vecteur nul ??
CA - CB + CC = vecteur nul ??


sauf qu'avec un schma , je ne ertourne pas à mon point de départ , donc je vois pas quoi faire . aider moi svp

Posté par
dhalte
re : ensemble de points 09-04-11 à 15:15

dans ces exercices là, tu introduits le barycentre des points qui correspond à l'expression vectorielle :

Soit P le barycentre de (A,1), (B,-1), (C,1)
pourquoi celui-là, parce que \vec{PA}-\vec{PB}+\vec{PC}=\vec0

et par Chasles, on obtient alors

\vec{AM}-\vec{BM}+\vec{CM}=(1-1+1)\vec{PM)

ce qui simplifie énormément l'équation.

Posté par
pasintelligent
re : ensemble de points 09-04-11 à 15:16


"AA - AB + AC = vecteur nul ??
CA - CB + CC = vecteur nul ??"



je crois plutôt qu'il faut partir de la première expression et chercher am puis ac , non ?

Posté par
pasintelligent
re : ensemble de points 09-04-11 à 15:18

ok et pour le a) , je fais pareil avec C que dois je déduire ?

Posté par
dhalte
re : ensemble de points 09-04-11 à 15:26

pour le a), tu te rappelles fort opportunément que
\vec{AA}=\vec0
 \\ -\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{BC}

et que tu es dans un carré

Posté par
rudy_math
re : ensemble de points 09-04-11 à 15:30

bonjour,

Pour la question a/ tu confonds vecteur et sa norme.

Pour prouver que A est un point de l'ensemble r :
\vec{AA}-\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{0}+\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}  on regroupe avec la propriété de Chasles

Et donc || \vec{AA}-\vec{AB}+\vec{AC}|| =  || \vec{BC} || = a car le carré est de côté a

Tu fais la même chose pour le point C, et de même pour montrer que B et D n'appartiennent pas à l'ensemble  r


Pour la question c/, tu dois trouver que le barycentre recherché est confondu avec le point D

d/ un indice en faisant intervenir le barycentre dans l'expression sous la norme, tu trouveras en simplifiant que || \vec{DM} || = a

Donc M doit vérifier cette condition

D étant fixe
Le point M doit toujours se trouver à une distance a (elle même fixée) de D : donc M appartient au cercle de centre D et de rayon a

On vérifie bien au passage que les points A et C sont bien sur ce cercle en traçant la figure. En effet, AD=DC=a (en longueur ici et non en vecteur bien sûr)

Tiens moi au courant si tu bloques encore

Cordialement

Posté par
pasintelligent
re : ensemble de points 09-04-11 à 15:44

donc voilà , je trouve


"-AB+AC = BC
et BC + CA = BA


or  a est la valeur de la longueur des coté du carré ABCD donc BA + BC = a

donc A et C sont aligné et par conséquent ils font parti de l'ensemble r "


ma déduction est elle bonne ??


et pour le b) je fais pareil , et je dois trouver une expression qui ne vaut pas a c'est ça ???

Posté par
rudy_math
re : ensemble de points 09-04-11 à 15:58

je ne pense pas que ta déduction soit la bonne.

on te donne une équation que les points M doivent vérifier pour appartenir à l'ensemble r (que l'on cherche)

On demande de vérifier que le point A appartient à l'ensemble r

On remplace le point M par le point A dans l'équation.

je te renvoie à mon post ci dessus, et on arrive à la norme du vecteur BC
or on est dans un carré, donc la norme du vecteur BC vaut a (la longueur du côté)
Donc avec le point A, l'égalité est vérifiée en norme, donc A appartient à l'ensemble r


je ne vois pas pourquoi tu parles de points alignés ??

Posté par
rudy_math
re : ensemble de points 09-04-11 à 16:12

b/ je t'aide pour cette question

montrons que B n'appartient pas à l'ensemble r


je remplace M par le point B dans l'équation
\vec{BA}-\vec{BB}+\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{BC}=\vec{BD} car on est dans un carré ABCD

or, la norme de ||\vec{BD}||= a\sqrt{2}a

donc B à l'ensemble r

tu fais la même chose pour le point D

Posté par
pasintelligent
re : ensemble de points 09-04-11 à 16:34

salut , j'ai compris. en faite j'avais lu quelque part que lorsque  des points était aligné , chaque point était le barycentre d'au moins deux points alignés et font donc parti du plan, non ? . mais ça ne sert à rien ici .

pour le "b)prouver que B ET D ne sont pas des points de l'ensemble r" je fais de même et je doit trouver une expression qui n'est pas égale à celle du départ , si ?

j'ai fait

|| BA - BB + BC ||
= || -AB + BC || = || BD || et différent de a , car c'est ce que je vois sur mon schéma et aussi parce que c'est un carré . est ce la bonne explication ??

pour le point D je  le vois sur mon schéma que  c'est égale à vecteur nul .mais e n'arrive pas à  le prouver

Posté par
pasintelligent
re : ensemble de points 09-04-11 à 16:37

tu as écrit quand je rédigeais ma réponse ^^


donc pour D je trouve  || DA - DB + DC ||  et je ne vois pas comment prouver que c'est égale à vecteur nul

Posté par
rudy_math
re : ensemble de points 09-04-11 à 16:56

une précision, on est bien d'accord que dans ton équation, il s'agit bien de vecteurs??

je raisonne comme si on utilisait bien des vecteurs
\vec{DA}-\vec{BD}+\vec{DC}=\vec{DA}+\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{DB}+\vec{DB}=2\vec{DB}

(car on est dans un carré, la somme deux vecteurs DA et DC  est égale au vecteur DB)

or ||2\vec{DB}|| =2a\sqrt{2}a

donc l'équation n'est pas vérifiée et D l'ensemble r

Posté par
rudy_math
re : ensemble de points 09-04-11 à 17:02

erreur de ma part sur le post précédent !!!  j'ai mal appliqué le changement de la lettre M et le point D

en vecteur :

DA-DB+DC= DA+BD+DC = DA+ BC

or les vecteurs DA et BC sont opposés car on est dans un carré
la norme du vecteur nul vaut zéro (le nombre) a donc D l'ensemble r

Posté par
dhalte
re : ensemble de points 09-04-11 à 17:04

j'ai bien remarqué, Rudy, que tu avais eu l'intention d'aider "pasintelligent".
je le laisse entre tes mains expertes.

Posté par
pasintelligent
re : ensemble de points 09-04-11 à 17:05

oui je parle bien de vecteur dans tout mes postes mais je ne sais pas mettre des fleche comme toi .

je crois que tu t'es trompé dan l'expression initial qui doit être

||DA - DB + DC || et non || DA - BD +DC ||

en suivant ta méthode je trouve bien ||  DB - DB || = vecteur nul

merci de ton aide . je crois que pour le reste je devrais me débrouiller

Posté par
rudy_math
re : ensemble de points 09-04-11 à 17:17

c/

Soit G le barycentre de [(A;1),(B;-1),(C;1)]

par définition le point G vérifie
\vec{GA}-\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}  (i)

on scinde par Chasles dans l'expression (i) \vec{GB}=\vec{GA}+\vec{AB}
                    et \vec{GC}=\vec{GA}+\vec{AC}

(i) devient donc :\vec{GA}-\vec{GA}-\vec{AB}+\vec{GA}+\vec{AC}=\vec{0}
                donc \vec{GA}+\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{0}
               ou encore \vec{GA}+\vec{BC}=\vec{0}


donc           \vec{AG}=\vec{BC}

Si tu regardes sur ta figure, on constate que le point G et le point D sont confondus
Par conséquent, le barycentre recherché n'est autre que le point D

Posté par
rudy_math
re : ensemble de points 09-04-11 à 17:25

c'est parfait "pasintelligent", je vois que tu as compris la méthode

tu portes donc très mal ton pseudo je vois poindre une lueur d'intelligence dans tes réponses !!! Il y a toujours de l'espoir

bonne continuation


dans la dernière question, tu fais intervenir le barycentre D dans l'expression de départ en scindant chaque vecteur avec le point D, et en oubliant pas la relation (i) de mon post précedent appliquée au point D, qui va te faire disparaître pas mal de termes et aboutir ainsi au résultat demandé.

rudy

Posté par
pasintelligent
re : ensemble de points 09-04-11 à 20:40

merci de tes encouragement ..

j'ai beaucoup appris même si j'ai des difficulté dans un autre exercice lol



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