Salut,

Quelques réponses, qui me passent telles quelles par la tête (donc pouvant être contredites) :

1) L'ensemble E₁ ne contient qu'un seul élément : le réel x vérifiant x+1 = 0.
L'ensemble E₂  contient une infinité d'éléments : toutes les assertions "x+1 = 0" rédigées avec x réel (quelles soient vraies ou non).
Ainsi, -1 est l'unique élément de E₁ ; -5+1 = 0  ou  +1 = 0 sont deux éléments de E₂.

2) Il suffit d'établir les "tables de vérité" de ces deux propositions  (pq et non (p) ou q) pour s'apercevoir qu'elles sont identiques : ainsi ces deux propositions sont équivalentes.

3) C'est plutôt le fait de passer par ces étapes prédéfinies que l'on a appelé "raisonnement par récurrence", et non pas l'inverse.

2) je ne parle pas de la table de vérité... je parle de comme pq est autrement dit: si p alors q... pourquoi non (p) ou q est p implique q? Que cela signifie-t-il? Non (p) ou q , définie la négation de p ou q ? Quelle sens a-t-elle cette proposition devant p implique q? Comment si p alors q est la même  chose  que la négation de p ou q ?? Ou juste on essayais de chercher à comment exprimer p implique q dans le tableau de vérité?

3)je parle également de pourquoi déterminer la vérité de p (0) 0premier nombre de l'ensemble posé, puis supposer que p (n) est vrai et montrer  que p (n+1) est vrai à l'aide de l'hypothèse, comme si on garantit déjà que p (n+1) est vrai? Le prof m'a dit: on prend l'exemple d'un rang d'élèves pénétrant à la classe. On s'assure que le premier élève entre, puis le rang continue d'entrer jusqu'un élève déterminé. Mais comment va-t-on nous assurer que celui qui le suit pénétrerais? C'est par cet élève qui le suit qu'on s'assurions que tout les élèves entrent à la classe.. Je trouve que cela es un peu pareil au principe, mais pourquoi sauter du premier nombre jusqu'à n et en plus on dit que p (n) est vrai? On garantit déjà la résolution de l'exercice, plutôt la démonstration??

Il y a plein de fautes de frappe, je m'excuse, juste ignorez-les SVP.

2 : Un théorème dit qu'il y a équivalence entre les deux propositions : (pq) et (non (p) ou q). Cette équivalence se prouve avec les tables de vérité.
Si celles-ci ne te conviennent pas, tu peux toujours raisonner en comprenant au préalable que toute proposition fausse peut  impliquer absolument n'importe quoi :
Si p est vraie, alors pq n'est vraie que si q est vraie ;
Si p est fausse, alors pq est toujours vraie.
Ceci est bien équivalent à non (p) ou q, c'est à dire : p est fausse, ou q est vraie.

3 : C'est le principe même du raisonnement par récurrence que tu ne saisis pas me semble-t-il.
On ne "saute" pas d'un premier nombre à n , et on ne prétend pas que la propriété est vraie pour n.
On vérifie qu"elle est vraie pour un certain n₀ donné (en général 0 ou 1 : c'est l'initialisation)
Ensuite, on montre que si elle est vraie à un entier n, alors elle sera vraie aussi au rang n+1 suivant. Et cela permet de conclure qu'elle est vraie pour tous les entiers supérieurs à n₀.

A partir d'un truc faux, on peut toujours prouver n'importe quoi.

Il existe à ce sujet une anecdote concernant un prof de fac connu (je ne me rappelle plus qui...) à qui un étudiant, remettant en question cette affirmation, lui dit : "ainsi donc, si 1=0 , alors vous pouvez prouver que je suis le Pape ?"
Le professeur réfléchit un instant, puis annonça tranquillement : "Admettons que 1 = 0. Ajoutons 1 à chaque membre de l'égalité : ainsi, 2 = 1. Le Pape et vous êtes deux personnes. Et donc, comme 2 = 1 , vous n'en êtes qu'une seule : vous êtes donc le Pape."

, là, je suis convaincue  vraiment, merci pour votre aide

De rien