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Niveau Licence Maths 1e ann
equation complexe
Posté par cedric58
bonjour,
sa fait plus de deux heures que je planche sur cette equation sans avancer d'un poil :
z^2n - z^n = i - 1
j'ai essayé en remplaçant z par x+iy mais je n'y arrive toujours pas.
merci de votre aide.
Poser Z^n = z
z² - z = i - 1
z² - z - (i-1) = 0
z = [1 +/- (1 + 4(i-1))^(1/2)]/2
z = [1 +/- (-3 + 4i)^(1/2)]/2
z = [1 +/- (1 + 2i)]/2
z1 = -i
z2 = 1 + i
---
a)
Z1^n = -i
Z1^n = e^(i.3Pi/2 + 2k.Pi)
Z1 = e^(i.3Pi/(2n) + 2k.Pi/n)
b)
Z2^n = 1 + i
Z2^n = V2 * e^(i.Pi/4 + 2k.Pi)
Z2 = 2^(1/(2n))*e^(i.Pi/(4n) + 2k.Pi/n)
Il y a donc 2 n solutions:
Z1 = e^(i.3Pi/(2n) + 2k.Pi/n) avec k entier de 0 à n-1
Z2 = 2^(1/(2n)) * e^(i.Pi/(4n) + 2k.Pi/n) avec k entier de 0 à n-1
-----
Sauf distraction. 
tu poses z=exp(i*t).
ensuite tu remarques que l'équation est équivalente à Z^n(Z-1)(Z+1)=i-1
tu exprimes Z-1 et Z+1 et exp (resp. exp(it/2)*2*i*sin(t/2) et exp(it/2)*2*cos(t/2).
Tu fais le produit et la tu as 2*exp(i*(n+1)t)*sin(t)=i-1 (utiliser sin(2p)=2cos(p)sin(p).
Et la tu fais Im(droite)=Im(gauche) et idem pour Re (partie imaginaire et partie réelle).
Le seule petit probleme, c est qu'il faut montrer que les solutions sont de module 1 ...
rebonjour,
En fait tu pourra le faire avec mon idée apres quelques calculs tu trouvera :
r(cos(2n
)-cos(n) = -1
et (a verifier)
r(sin(2n)-sin(n) = 1
tu utilises les propriétés cos(a) - cos(b) et sin(a) - sin(b) tu trouves :
sin(3n/2)*sin(n) = 1/2r
cos(3n/2)*cos(n) = 1/2r
apres calcul tu trouvra :
= (
/(6n)) + 2k/(3n) apres il te reste de calculer r..
verifie tout ca j'ai fais les calculs un tit pe vite ..
rebonjour,
En fait tu pourra le faire avec mon idée apres quelques calculs tu trouvera :
r(cos(2n)-cos(n) = -1
et (a verifier)
r(sin(2n)-sin(n) = 1
tu utilises les propriétés cos(a) - cos(b) et sin(a) - sin(b) tu trouves :
sin(3n/2)*sin(n) = 1/2r
cos(3n/2)*cos(n) = 1/2r
apres calcul tu trouvra :
= (/(6n)) + 2k/(3n) apres il te reste de calculer r..
verifie tout ca j'ai fais les calculs un tit pe vite ..