Bonjour,
ce serai mieux  je penses en posant z = r*exp(i)
c'est juste une idée ..
Bon courage

merci du conseille je vais essayer

oui jai essayé, c est la 1ere chose qui m'a paru évidente, mais c est pas possible...

c'est vrai que en essayant on est bloqué. quelqun d'autre à une idée?

Poser Z^n = z

z² - z = i - 1
z² - z - (i-1) = 0

z = [1 +/- (1 + 4(i-1))^(1/2)]/2
z = [1 +/- (-3 + 4i)^(1/2)]/2
z = [1 +/- (1 + 2i)]/2

z1 = -i
z2 = 1 + i
---
a)
Z1^n = -i
Z1^n = e^(i.3Pi/2 + 2k.Pi)
Z1 = e^(i.3Pi/(2n) + 2k.Pi/n)

b)
Z2^n = 1 + i
Z2^n = V2 * e^(i.Pi/4 + 2k.Pi)
Z2 = 2^(1/(2n))*e^(i.Pi/(4n) + 2k.Pi/n)

Il y a donc 2 n solutions:
Z1 = e^(i.3Pi/(2n) + 2k.Pi/n) avec k entier de 0 à n-1
Z2 = 2^(1/(2n)) * e^(i.Pi/(4n) + 2k.Pi/n) avec k entier de 0 à n-1
-----
Sauf distraction.  

ok merci beaucoup

tu poses z=exp(i*t).
ensuite tu remarques que l'équation est équivalente à Z^n(Z-1)(Z+1)=i-1
tu exprimes Z-1 et Z+1 et exp (resp. exp(it/2)*2*i*sin(t/2) et exp(it/2)*2*cos(t/2).
Tu fais le produit et la tu as 2*exp(i*(n+1)t)*sin(t)=i-1 (utiliser sin(2p)=2cos(p)sin(p).
Et la tu fais Im(droite)=Im(gauche) et idem pour Re (partie imaginaire et partie réelle).

Le seule petit probleme, c est qu'il faut montrer que les solutions sont de module 1 ...

oups je me suis gouré ... désolé

rebonjour,

En fait tu pourra le faire avec mon idée apres quelques calculs tu trouvera :


r(cos(2n)-cos(n) = -1
et                                                         (a verifier)
r(sin(2n)-sin(n) = 1  

tu utilises les propriétés  cos(a) - cos(b)  et sin(a) - sin(b) tu trouves :

sin(3n/2)*sin(n) = 1/2r
cos(3n/2)*cos(n) = 1/2r

apres  calcul tu trouvra :

= (/(6n)) + 2k/(3n) apres il te reste de calculer r..

verifie tout ca j'ai fais les calculs un tit pe vite ..

rebonjour,

En fait tu pourra le faire avec mon idée apres quelques calculs tu trouvera :


r(cos(2n)-cos(n) = -1
et                                                         (a verifier)
r(sin(2n)-sin(n) = 1  

tu utilises les propriétés  cos(a) - cos(b)  et sin(a) - sin(b) tu trouves :

sin(3n/2)*sin(n) = 1/2r
cos(3n/2)*cos(n) = 1/2r

apres  calcul tu trouvra :

= (/(6n)) + 2k/(3n) apres il te reste de calculer r..

verifie tout ca j'ai fais les calculs un tit pe vite ..

oups désolé j'ai eu un blem de connexion et ca c'est posté 2 fois, tu n'as qu'a voir l'une des 2
désolé.