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equation d'un plan a partir de 3 points
Bonjour
On me demande une equation d'un plan P à partir de 3 points B(0;1;0);C(-1;1;0)et D(-1;-2;-3)
Sur les sites que j'ai vu ils considére cela comme tres simple mais je ne comprend pas ce qu'il faut faire avec ces 3 points pour trouver une equation d'un plan, si vous pouviez me donner la formule general et un exemple cela m'aiderai surement.
Merci.
bonjour,
au lieu de formule, il faut plutôt connaître les méthodes (une formule encombre l'esprit surtout quand on ne sait pas vraiment d'ouù elle sort; il peut y avoir rique d'erreurs.)
donc une méthode:
une équation cartésienne du plan est ax+by+cz+d=0
les coord des point vérifient l'équation:
a*(0)+b*(1)+c*(0)+d=0
a*(-1)+b*(1)+c*(0)+d=0
a*(-1)+b*(-2)+c*(-3)+d=0
système à résoudre.
une équation paramétrique:
pour tout M(x,y,z) du plan il existe p et q réels tels que:
BM=p.BC+q.BD (égalité vecto)
BM=(x-0,y-1,z-0)=(x,y-1,z)
BC=(-1,0,0)
BD=(-1,-3,-3)
expression de l'égalité vectorielle:
x=-p-q
y=1-3q
z=-3q
l'élimination de p, q entre ces équation redonne une équation cartésienne.
tu dis:
a*(0)+b*(1)+c*(0)+d=0
a*(-1)+b*(1)+c*(0)+d=0
a*(-1)+b*(-2)+c*(-3)+d=0
système à résoudre.
mais je ne sais pas comment resoudre un systeme a 3 equations à 4 inconnues
pourrais-tu m'y aider?
merci
b + d =0 donc b = -d
-a + b +d = 0 donc -a +(b+d) = 0 donc -a + 0 = 0 donc a = 0
-a -2b -3c + d =0 donc 0 -2(-d) - 3c + d=0 donc 3d=3c donc d = c
la réponse est donc
a=0
b=-d
d=c
comme il y a 4 inconnues pour 3 équations, il y a une infinité de solutions possibles mais il suffit de fixer une valeur à l'une des variables et les autres en découleront
par exemple si l'on prend b=1, d=-1, c=-1 et l'équation est définie
y - z - 1 =0
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