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Equation de cercle tangent à deux droites passant par un point
Bonjour à tous,
Voici un problème que l'on m'a posé dans un cadre strictement scolaire, résoluble normalement par un bon élève de 1ère, lors de l'étude du produit scalaire dans un repère orthonormé:
Donner une équation du cercle C tangent au droites et
et passant par l'origine du repère.
Pour cela, ma seule idée était de déterminer un cercle tangent quelconque et d'utiliser une homothétie pour faire en sorte qu'il intersecte le point demandé (rien de plus une résolution géométrique traduite avec des moyens algébrique), ce qui demande un arsenal algébrique qui me semble un peu poussé pour un élève de 1ère.
Y aurait-t-il un moyen géométrique plus simple pour répondre à ce problème, ou y aurait-t-il un moyen algébrique plus simple ?
Merci d'avance
Bonjour,
Peut-être utiliser le fait que le centre du cercle se trouve sur la bissectrice dont on peut facilement déterminer l'équation...???
Bonjour,
J'ai trouvé l'équation de la bissectrice, elle vaut :
Ainsi, je vois qu'à priori, il suffit de considérer un point de la bissectrice, où
est une fonction affine, et déterminer quelle valeur
vérifie
Ce qui, a priori, se ramène à deux équations du premier degré (car une valeur absolue apparaît dans ) donnant les deux points d'intersection, s'ils existent.
C'est drôle comme cela paraît maintenant trivial !
Si tu connais la formule qui donne la distance d'un point A(xA;yA) à une droite d'équation ax+by+c=0
la formule c'est D = |axA+byA+c|/
(a²+b²)
tu peux toujours écrire que les distances du centre du cercle (x;y) aux deux droites sont égale et aussi égales à (x²+y²) ça te donnera deux équations avec comme inconnues x et y.
Après, pense à vérifier avec geogebra que la solution est bien celle là.
D'accord, merci pour vos conseils !
Je tire tout de même une morale de cette histoire, qui est le fait que les moyens algébriques peuvent être, une fois qu'ils ont été imaginés et établis, considérablement plus puissants que les moyens géométriques.
Ce qui me trouble, c'est que derrière ces calculs, il y a sans doute des choses géométriques qui se passent (comme il se passe que le théorème de Thalès est implicitement utilisé lorsque l'on utilise la distributivité des scalaires sur les vecteurs), mais que lorsqu'ils sont ainsi présentés, ils me donnent l'impression d'une drôle de machine complexe dont on ne comprend pas le fonctionnement interne. Peut-être est ce un sujet intéressant pour des recherches personnelles ?
Je divague, mais par exemple, pour démontrer la concourance des hauteurs dans un triangle ABC, j'ai lu dans un livre un mathématicien remarquer que l'on peut utiliser une isométrie de telle sorte à amener le point A sur l'axe des ordonnées et les deux autres points sur l'axe des abscisses, et démontrer cette propriété avec les équations de droites perpendiculaires, ce qui devient en fait très facile. Mais encore, ce qui m'a surpris est : qu'est ce qui se cache derrière ?
Une autre idée : déterminer les points d'intersection d'un cercle passant par l'origine avec les deux droites et écrire que les deux points d'intersection de chaque droite sont confondus.
Bonjour,
Géométriquement, on peut voir les centres comme intersections de deux paraboles de foyer et de directrices les deux droites.
Mais rien de bon pour le calcul avec du degré 4...
L'intersection d'une des paraboles avec la bissectrice peut-être...
Bonjour,
@cerveaulogik,
J'ai un doute sur l'équation de la bissectrice que tu as donné à 14h14.
L'ordonnée à l'origine doit être négative.
Attention : Il y a 2 bissectrices quand on parle de 2 droites.
salut,
"Je tire tout de même une morale de cette histoire, qui est le fait que les moyens algébriques peuvent être, une fois qu'ils ont été imaginés et établis, considérablement plus puissants que les moyens géométriques. "
J'ai des doutes sur l'efficacite de la methode algebrique.
Par exemple l'abscisse du centre du plus grand cercle est:
Quant à l'equation de la bissectrice passant par les centres, son equation est en effet:
Je tire tout de même une morale de cette histoire, qui est le fait que les moyens algébriques peuvent être, une fois qu'ils ont été imaginés et établis, considérablement plus puissants que les moyens géométriques.
Oui alb12, quand on dispose de certains "moyens de calcul", tout est possible...
Pour ma part, "by fair means", j'étais arrivé assez rapidement à des équations des deux paraboles:
C'était perdu d'avance: l'intersection de deux coniques: 4 points (ou moins) donc degré 4.
L'intersection d'une des deux paraboles et de la (bonne) bissectrice toujours "by fair means":
Faisable mais j'ai abandonné...
>>cerveaulogik
Pour étayer la citation au dessus, il faut aller au bout des calculs...
Mais tout de même, je retiens ceci:
Voici un problème que l'on m'a posé dans un cadre strictement scolaire, résoluble normalement par un bon élève de 1ère, lors de l'étude du produit scalaire dans un repère orthonormé:
Qui a été au bout des calculs ?
Je critique mais je dois bien reconnaître que ces logiciels sont extraordinaires 
Et le système avec la bissectrice ? Si ce n'est pas trop demander ?
developper(solve([3x+(3*sqrt(10)-9)*y+17-5*sqrt(10),x^2-2x*y+y^2+2x+2y-1],[x,y])
donne sous une autre forme les bons resultats:
Voici une session Xcas pour firefox (ce serait plus convivial avec Xcas PC),
j'utilise l'equation de la bissectrice et les distances des centres des cercles à cette bissectrice.
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
En effet, notre professeure a finalement décidé de laisser tomber cet exercice, en disant qu'elle nous trouverait d'autres équations de droites plus simples à manier. Mon questionnement s'articulait davantage sur la méthode de résolution que les calculs en eux mêmes.
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