salut

si tu developpes

(x+1)² + (y-1/2)² = 6

je ne pense pas que tu retombera sur

x² + 2x + y² - y = 5

c'est (x+1)²+(y-1/2) =25/4

donc le centre est I(-1,1/2) et le rayon 5/2

pour T par contre c'est bon.

2) les coordonnees de A et de B solutions du systeme suivant :
(x+1)²+(y-1/2) =25/4
(x-4)² +(y-3)² = 25

on developpe, on fait la difference on trouve y en fonction de x
qu'on remplace ensuite dans l'une des 2 equations...

3) faut calculer les equations des tangentes.
on calcule vecteur(IA) on prend un vecteur normal au vecteur(IA)
c'est un des vecteurs directeurs de la tangente passant par A du cercle C.
comme la tangente passe par A, les coordonnees de A verifient son equation donc on trouvera l'equation de cette tangente.

meme chose pour celle de T.
vecteur(FA)...

pour savoir si elles sont perpendiculaires, on regadera le produit scalaire des vecteurs directeurs...
4)idem que 3.

alors, moi j'ai le même exercice, alors voila ce que j'ai trouvé  :
pour la premiere question, c'est ce qu'a marqué minotaure , enfin je trouve la même chose !

2. A et B points d'intersection :
x² + y² + 2x - y = x² +y² - 8x - 6y
y = - 2x + 1

Je remplace dans la 1ere éq, par ex :
x² + ( - 2x + 1)² + 2x - (- 2x + 1) = ... = x² - 1 = (x + 1) (x - 1)
donc les coordonnées de A sont (-1 ; 3) et et pour B : (1 ; -1)

3. pour les éq.de la tangente, je vois pas trop comment tu fais ,
moi j'ai pensé utiliser la formule avec les dérivées :
y = f'(a)(x - a) + f(a)
mais le probleme c'est que je trouve la même équantion pour les 2 tangentes, ce qui est impossible .

Mais avec ta technique, comment tu fais pour trouver l'éq ?
J'ai une idée , la voila :

Pour le point A avec le cercle C :
tu calcules les coordonnées du vecteur(IA) qui sont (0 ; 5/2) non ?
ensuite le vecteur normal a IA , tu l'appelles vectuer(AD), et tu calcules ses coordonnées :  mais comme tu ne les connais pas tu les appelles (x - 1; y - 1/2 ).
Ensuite le prod scalaire des 2 doit être nul vu qu'ils sont perpendiculaires :
ca fait 0 (x-1) + 5/2(y -1/2) = 0 y = 1/2, ok ?
donc l'éq de la tangente c'est ca ?

Avec le cercle T :
coordonnées du vecteur FA : (-5 ; 0)
coordoonées du vecteur AG (perpendiculaire à FA) : (x+1 ; y-3)

FA . AG = 0
-5(x+1) = 0
x = -1
c'est l'éq de la tangente ?

Ensuite pour B, avec le cercle C :
coordonnées du vecteur IB : (2 ; -3/2)
coordoonées du vecteur BP (perpendiculaire à IB) : (x-1 ; y+1)
IB . BP = 0
2(x-1) - 3/2(y+1) = 0
...
ca donne : y = 4/3x -7/3
c'est bien ca l'éq de la tangente ?

Avec le cercle T :
coordonnées du vecteur FB : (-3 ; -4)
coordoonées du vecteur B0 (perpendiculaire à FB) : (x-1 ; y+1)
FB . BO = 0
-3(x-1) -4(y+1) = 0
....
y = -3x -1

Mais pour démontrer ensuite que les 2 tangentes en A sont perpendiculaires ;
ca fait AG . AD = 0 ,  non ?
mais le probleme c'est que je n'ai pas les coordoonées de AG et de AD a part (x+1 ; y -3) et (x-1 ; y - 1/2)
donc ?

Merci

peut etre est ce trop tard mais je donna ma solution :

on developpe les equations de cercle :

(x+1)²+(y-1/2) =25/4
(x-4)² +(y-3)² = 25

et on a :

x²+2x+y²-y=5
et x²-8x+y²-6y=0

on fait la difference :
10x+5y=5
donc y=1-2x
on avait (x-4)² +(y-3)² = 25
en remplacant par y par 1-2x :
(x-4)²+(2+2x)² = 25
on developpe :
5x²-5=0
donc x²-1=0
donc x=1 ou x=-1
pour x=1 on a y=-1
pour x=-1 on a y=3
donc  A(-1,3) B(1,-1)

cette formule "y = f'(a)(x - a) + f(a)" ne peut etre utilise ici car tu supposes que la tangente est non parallele a l'axe des ordonnees.
de plus comment definir f ?
notre "courbe" est un cercle donc ce n'est pas une fonction.
on pourrait definir des fonctions ayant pour courbe representative des "demi-cercles" mais c'est un peu complique.

j'ai donne une methode elle est valable mais il y en a une plus simple.

on prend M(x,y)  sur la tangente du cercle C en A.
on a vecteur(AM).vecteur(IA)=0
vecteur(AM) (x+1,y-3)
vecteur(IA) (0,5/2)
conclusion (y-3)*5/2=0
donc y=3
voila l'equation de la tangente du cercle C en A.

pour le cercle T :
on prend M(x,y) sur la nouvelle tangente.
on a vecteur(AM).vecteur(FA)=0
vecteur(AM) (x+1,y-3)
vecteur(FA) (-5,0)
donc -5*(x+1)=0
donc x=-1
equation de la deuxieme tangente : x=-1

les 2 tangentes sont elle perpendiculaires.
avec la propriete vue en 3° "deux droites qui ont le produit de leur coefficients directeur egal a -1" ca ne marche pas car l'une de nos deux droites n'a pas de coefficients directeur.

neanmoins on peut dire que la premiere est parallele a l'axe des abscisses tandis que l'autre est parallele a celui des ordonnees.
comme les 2 axes sont orthogonaux (car on est dans un repere orthogonal ? (pas preciser dans l'enonce...)) on en deduit que les tangentes sont perpendiculaires.

autre facon utilisant les vecteurs directeurs :
u(1,0) est UN vecteur directeur de la premiere et v (0,1) est un vecteur directeur directeur de la deuxieme.
u.v=0
meme conclusion.

idem pour le point B.