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Equations de cercles et tangentes

Posté par kikidenantes (invité) 09-03-05 à 19:50

Bonsoir tt le monde, je viens vs demander de l'aide!
J'ai un DM et je n'arrive pas à finir un exo.

Voici le sujet:
Ds un repère orthonormé (O;i;j), on considère le cercle C d'équation:
x²+2x+y²-y=5
et le cercle C' de centre F(4;3) et de rayon 5.

1°) Déterminer les éléments caractéristiques de C puis une équation de C' ds ce repère.
> Cette question, j'y suis parvenue. Je trouve:
   - C est le cercle de centre E(-1;1/2) et de rayon 5/2
   - L'équation de C' est: x²+y²-8x-6y=0

2°) Calculer les coordonnées des pts d'intersection A et B de C et C'.
> J'ai également trouvé cette question.
   Les pts d'intersection st A(1;-1) et B(-1;3)

3°) Déterminer les équations des tangentes à chacun des cercles au pt A.

4°) Démontrer que ces tangentes st perpendiculaires.

> Je suis bloquée sur la question 3, alors si qqun pourrait m'aider, je lui serait reconnaissante.
   Merci d'avance et bonne soirée à tous.

Posté par kikidenantes (invité)Qqun?? 09-03-05 à 20:05

c'est si difficile que ça pr ne pas avoir de réponse? lol
C'est normal que je n'y arrive pas alors.

Y'a vraiment personne qui peut m'aider là? Parce que moi ça fait 3jours que j'suis dessus, et je bloque là!

Posté par kikidenantes (invité)Aidez moi svp 09-03-05 à 20:11

Aidez moi s'il vs plait!
J'ai besoin de votre aide, c'est à rendre demain !

Posté par kikidenantes (invité)... 09-03-05 à 20:18

ayez pitié... ^^
Non, ms j'aurais pensé avoir au moins une réponse!
Merci de la solidarité!
Je retiens! lol
Non je déconne, mais s'il vs plait, donnez moi au moins une piste!

Posté par
lyonnaisre : Equations de cercles et tangentes 09-03-05 à 20:21

salut kikidenantes :

1) x^2+2x+y^2-y = 5
<=> (x+1)^2+(y-\frac{1}{2})-1-\frac{1}{4} = 5
<=> (x+1)^2+(y-\frac{1}{2}) = \frac{25}{4}

C est donc bien le cercle de centre \rm E(-1 ; \frac{1}{2}) et de rayon \frac{5}{2} .

-> pour C' :

(x-4)^2+(y-3)^2 = 25
<=> x^2+16-8x+y^2+9-6y = 0
<=> x^2-8x+y^2-6y = 0

je suis donc encore d'accord avec toi !

...


Posté par kikidenantes (invité)mouai 09-03-05 à 20:24

Merci, ms ça m'aide pas pr la suite! ^^
Au moins tu as répondu, mais j'aurais préféré que ce soit à la question 3...

Posté par
lyonnaisre : Equations de cercles et tangentes 09-03-05 à 20:27

3) il faut que tu calcul les coordonnées du vecteur \vec{EA}

Puis tu dis : soit M(x;y) , un point de la tangente en A.

Tu exprime \vec{AM} (x-1;y+1)

et tu utilise la règles des vecteurs orthogonaux \rm ( xx'+yy'=0 )

tu comprends ou pas ?

Posté par kikidenantes (invité)euh... 09-03-05 à 20:54

ben ouai ms j'fais comment qd j'ai:
vecteur AM = (x-1;y+1)
et vecteur EA = (2;-3/2) ?

je fais 2(x-1)-(3/2)(y+1)
cad: y= 2/3x - 7/6
et x = (3y+7)/4

C'est ça?

Posté par
watikre : Equations de cercles et tangentes 09-03-05 à 20:58

bonsoir kikidenantes

l'équation de C est (x+1)²+(y-1/2)²=25/4

posez x+1=5/2cos(t) et y-1/2=5/2sin(t) avec t élément de [0,2Pi[.

dx/dt=-5/2sin(t) et dy/dt=5/2cos(t)

le vecteur vitesse a pour norme rc((dx/dt)²+(dy/dt)²)=5/2

donc un vecteur unitaire de la tangente en M est (-sin(t),cos(t))

en A(1,-1) on a 1+1=5/2cos(to) et -1-1/2=5/2sin(to)

donc en A cos(to)=4/5 et sin(to)=-3/5

donc la tangente en A est portée par le vecteur T=(3/5,4/5)

Soit M(x,y) un point de cette tangente alors det(AM,T)=0

après calcul de ce déterminant je trouve pour équation de la tangente à C en A: 4x-3y=7.dont un vecteur directeur T(3,4)


de la même manière j'ai trouvé pour équation de la tangente à C' en A:

3x+4y= -1 dont un vecteur directeur T'(-4,3)

4) le produit scalaire T.T'=(3).(-4)+(4).(3)=-12+12=0

donc les deux tangentes sont perpendiculaires.

voila bon courage

Posté par kikidenantes (invité)... 09-03-05 à 21:11

Ben merci pr vos rep

bonne nuit à tous!

Posté par
lyonnaisre : Equations de cercles et tangentes 09-03-05 à 21:17

re-salut kikidenantes :

3) \vec{EA} (2 ; -\frac{3}{2})  et \vec{AM} (x-1;y+1)

donc comme (EA) et (AM) sont orthogonaux (définition de la tangente) :

2(x-1)-\frac{3}{2}(y+1)
<=> 2x-2-\frac{3}{2}y-\frac{3}{2} = 0
<=> 4x-4-3y-3 = 0
<=> 4x-3y-7 = 0   -> je trouve donc pareille que watik ( en un peu moins compliqué ... )
<=> y = \frac{4}{3}x-\frac{7}{3}

l'équation de la tangente à C en A est donc \rm \blue \fbox { y = \frac{4}{3}x-\frac{7}{3} }

Posté par
lyonnaisre : Equations de cercles et tangentes 09-03-05 à 21:31

de la même façon : \vec{AF} (3;4) et \vec{AM} (x-1;y+1)

or (AF) et (AM) sont orthogonaux :

3(x-1)+4(y+1) = 0
<=> 3x-3+4y+4 = 0
<=> 4y+3x+1 = 0   ( encore pareil que watik -> bizare ... )
<=> y = -\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}

l'équation de la tangente à C' en A est donc \rm \red \fbox{ y = -\frac{3}{4}x-\frac{1}{4} }

4) \blue y = \frac{4}{3}x-\frac{7}{3} et \red y = -\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}

\frac{4}{3}\time (-\frac{3}{4}) = -1.

d'où d'après le célèbre théorème qui dit que quand l'on a deux droites y = ax+b  et y' = a'x+b' et que aa' = -1 alors les droites sont orthogonales.

les deux tangentes sont donc perpendiculaires.

@+

Posté par
lyonnaisre : Equations de cercles et tangentes 10-03-05 à 11:09

\blue \huge Watik :

Pourrais tu m'expliquer ta méthode plus en détails s'il te plait ? Parce que je trouve les mêmes résultats que toi ...

Et ça m'intéresse vraiment d'apprendre une nouvelle méthode. Est-ce une méthode de physique ?

En quelle classe est tu ?

Merci d'avance.

Posté par
watikre : Equations de cercles et tangentes 10-03-05 à 16:37

Bonjour Lyonnais

C'est un honneur pour moi de vous répondre.

Sachez que votre méthode est plus naturelle. Pour celle que j'ai donnée elle utilise la cinématique ou si vous voulez les courbes paramétrées.

Pour ce qui est de ma classe, je suis en dehors de la scolarité depuis très lontemps. Je suis peu être vieux comme votre grand père. Pour votre curiosité je suis un PHD, MBA et ingénieur d'une grande école de Paris.

Posté par
lyonnaisre : Equations de cercles et tangentes 10-03-05 à 17:25

ah, d'accord. Merci de m'avoir répondu watik.

J'espère moi aussi devenir ingénieur, et un jour, je pense que je vais surement apprendre votre méthode ... plus tard

En tout cas, merci encore pour votre réponse.

@+

Posté par claire (invité)re : Equations de cercles et tangentes 14-04-05 à 10:47

mais dans ce qu'a marqué Lyonnias, il y a un truc qui m'échappe :

il dit "de la m^me facon vecteur (AF) (3;4) mais je suis pas d'accord parce que ce ne serait pas plutot FA comme au dessus avec EA et c'est pas marqué AE ,
j'espere avoir été claire
!


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