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Équations de droites
Bonsoir 
, j'ai besoin de votre aide sur une question de l'exercice suivant:
m est un réel donné et Dm est la famille de droites d'équation:
(m+2)x+(2m+2)y+2=0.
1- Déterminer et construire la droite D0.
2- Déterminer et construire les droites Dm qui sont parallèles aux axes.
3- Montrer, de deux façons différentes, que deux droites quelconques Dm ne peuvent pas être parallèles.
4- Existe-t-il une droite Dm qui passe par le point A(3;2)? Une qui passe par le point B(-4;2)?
5- Pour quelles valeurs de m les droites Dm ne rencontrent-elles pas la parabole d'équation y= x2/4?
Voici ce que j'ai fait:
1- Une équation cartésienne de la droite D0 est de la forme 2x+2y+2=0 soit x+y+1=0. (L'image est jointe ci dessous)
2- • Dm est parallèle à l'axe des abscisses donc:
m+2=0
m= -2
La droite D-2 a pour équation -2y+2=0 soit y=1.
• Dm est parallèle à l'axe des ordonnées donc:
2m+2=0
m= -1
La droite D-1 a pour équation x+2=0 soit x= -2.
3- C'est sur cette question que je bloque.
Pour montrer que deux droites quelconques ne sont pas parallèles, je peux démontrer que les vecteurs directeurs associés à ces droites ne sont pas colinéaires? Faut il utiliser le point C(-2;1) qui est commun à toutes les droites Dm?
4- • Existe-t-il un réel m tel que le point A(3;2) appartienne à la droite Dm?
3(m+2)+ 2(2m+2)+2=0
m= (-12/7)
Le point A(3;2) appartient donc à la droite D(-12/7).
• Existe-t-il un réel m tel que le point B(-4;2) appartienne à la droite Dm?
(-4)(m+2)+ 2(2m+2)+2=0
-2=0
Ainsi le point B(-4;2) n'appartient à aucune droite Dm.
5- Montrons que le point C(-2;1) appartient à toutes les droites Dm.
(-2)(m+2)+ 1(2m+2)+2= -2m-4+2m+2+2=0.
Le point C(-2;1) appartient donc à toutes les droites Dm, elles ont donc un point en commun.
(-2)2/4=1 donc le point C(-2;1) appartient à la parabole d'équation y= x2/4.
Les droites Dm rencontrent donc toujours cette parabole.
Merci beaucoup
PS: Sur l'image la droite en rouge est D0, la droite en bleue est D-1 et la droite en verte est D-2. (Désolée pour la qualité de l'image
)
salut
3/ travailler avec les vecteurs directeurs avec les droites Dm et Dn ...
sinon le reste est ok
Bonsoir,
Je me permets de faire remarquer qu'il est demandé "deux façons différentes" à la question 3).
1ère façon : vecteurs directeurs.
2nde façon : coefficient directeur, en utilisant la question 2) pour traiter à part le cas des droites sans coefficient directeur.
3ème façon : vecteurs normaux si c'est au programme.
certes ... mais il faut bien commencer par une méthode ... 
j'ai privilégié celle qui ne pose aucun pb ... avant d'aller plus loin ...
il existe d'ailleurs une quatrième méthode ... si on considère que la première et la troisième sont distinctes
(pour ma part je considère que c'est la même façon puisque considérer la colinéarité de deux vecteurs ou de deux vecteurs orthogonaux à ces vecteurs c'est la même chose : l'expression de ces vecteurs directeurs ou orthogonaux n'est que la simple expression de formule du cours)
Bonjour, je suis vraiment désolée d'avoir mis du temps à poster ma réponse mais j'ai régulièrement des coupures internet.
3- Première méthode:
On considère un réel quelconque n donc la droite Dn a pour équation, Dn: (n+2)x+(2n+2)y+2=0.
Un vecteur directeur de la droite Dm est 
(-2m-2; m+2) et un vecteur directeur de la droite Dn est 
(-2n-2; n+2).
(-2m-2)×(n+2)-(-2n-2)×(m+2)= -2m+2n= -2(m-n).
Les vecteurs et ne sont donc pas colinéaires ainsi deux droites quelconques Dm ne peuvent être parallèles.
Deuxième méthode:
Le point C(-2;1) appartient à toutes les droites Dm. Les droites Dm ont donc un point en commun.
Montrons que deux droites quelconques Dm ne sont pas confondues.
J'ai un petit problème, je ne me souviens plus quelle méthode faut il utiliser pour montrer que deux droites sont confondues?
Merci beaucoup
attention ta conclusion ne va pas ... ou plutôt tu l'as mal terminée !!
tu appliques la formule de colinéarité et tu arrives donc à 2(m - n)
ok mais c'est à partir de là qu'il faut conclure convenablement :
u et v sont colinéaires <=> 2(m - n) = 0 <=> m = n <=> D_m = D_n
deuxième méthode (en utilisant la question 5/) : toutes les droites D_m passent par le même point C
donc si deux droites D_m et D_n sont parallèles alors elles sont confondues !!! tout simplement ...
D'accord, merci.
Je suis désolée mais je n'ai pas bien compris cette partie de votre réponse
u et v sont colinéaires <=> 2(m - n) = 0 <=> m = n <=> D_m = D_n
Pourquoi montrer que Dm=Dn démontre que deux droites quelconques Dm ne peuvent pas être parallèles?
on démontre tout simplement (dans les deux méthodes) que si deux droites sont parallèles alors elles son confondues ...
il faut bien comprendre que pour une valeur de m tu as une droite (et une seule) qui lui est associée et réciproquement pour une droite donnée tu n'as qu'une valeur de m associée !!
donc
D'accord, j'ai compris, merci pour vos explications.
Deuxième méthode (en utilisant la question 5-) :
Toutes les droites Dm passent par le même point C(-2;1).
Montrons que deux droites quelconques Dm ne sont pas confondues.
On considère un réel n tel que les droites Dn et Dm soient confondues.
La seule parallèle à l'axe des abscisses est la droite D-2. On peut donc considérer le point d'intersection des deux droites Dm et Dn avec l'axe des abscisses qui a pour coordonnées (x;0).
On obtient alors:
Pour Dm: (m+2)x+2=0 soit x=(-2)/(m+2).
Pour Dn: (n+2)x+2=0 soit x=(-2)/(n+2).
On a donc (-2)/(m+2)=(-2)/(n+2) soit m=n
Dm=Dn.
Deux droites distinctes Dm ne peuvent pas être parallèles.
C'est juste?
je ne comprends pas ce que tu fais (en fait si mais) : tu n'utilises pas la question 5/ (point commun à toutes les droites ) voir post de 16h48
première méthode : avec les vecteurs directeurs ou normaux : on montre que m = n et donc que deux droites parallèles sont confondues
deuxième méthode : les droites D_m passent toutes par un même point (C que tu as déterminé) donc deux droites parallèles sont nécessairement confondues
Je ne pensais pas que si toutes les droites Dm passent toutes par un même point C suffisait à prouver que deux droites parallèles sont nécessairement confondues... C'est pour cela que j'ai fait une autre démonstration en plus...
Donc pour la deuxième méthode il suffit juste d'écrire:
Toutes les droites Dm passent par le même point C(-2;1).
Ainsi si deux droites Dm et Dn sont parallèles alors elles sont confondues.
Deux droites distinctes Dm ne peuvent donc pas être parallèles.
ben oui !! on utilise simplement la propriété élémentaire de collège :
si deux droites sont parallèles et ont un point commun alors elles sont confondues
Bonjour,
Maintenant que la question est terminée, je me permets de poser une question :
Si les droites D'm ont pour équation
(m2+2)x+(2m2+2)y+2=0 ,
peut-on dire que deux droites quelconques D'm ne peuvent pas être parallèles ?
toujours en considérant les vecteurs directeurs (ou normaux ce qui revient au même)
Dm // D_n <=> leur vecteurs directeurs sont colinéaires
évidemment on a la solution triviale m = n (voir "entre nous" plus bas)
mais on a aussi la solution évidente m = -n
mais Dm = D-m donc non seulement ces droites sont parallèles mais en plus elles sont confondues
mais bon parler de deux droites parallèles lorsqu'elles sont confondues ... bof bof ...
entre nous : toute droite est parallèle à elle-même puisque la relation être parallèle à est une relation d'équivalence donc est réflexive
je pense qu'ici ce qui nous intéresse donc vraiment c'est le strict parallélisme c'est-a-dire deux droites strictement parallèles
ce me semble-t-il ...
en fait on peut dire même plus :
puisque les classes d'équivalence de cette relation sont les direction du plan et que celles-ci sont infinies (conséquence immédiate des axiomes d'Euclide) :
dans le cas de l'exercice non seulement on a une bijection de R vers l'ensemble des direction du plan mais aussi une bijection de l'unique représentant associé
mais dans ton cas on a seulement bijection dans l'ensemble des directions mais pas bijection de l'unique représentant associé car il n'y a pas injectivité : m et -m on la même droite image
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