Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

Équations et inéquations irrationnelles dans R.

Posté par
matheux14
13-08-20 à 21:47

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Résoudre dans \R.

a) \sqrt{4x²-9x+2}=x-2

b) \sqrt{-x²+3x-2}\geq x-1

c) \sqrt{x²+3x+2}\leq 4x+6

e) \sqrt{1-4x²} >x

f) \sqrt{2+7x} < x+2

Réponses

a)Soit (E) : \sqrt{4x²-9x+2}=x-2

(E) \iff \begin{cases} x-2 \geq 0 (1)\\ (\sqrt{4x²-9x+2})²=(x-2)² (2)  \end{cases}

*D'après (1) , x \in [2 ;+\infty[

Soit S_{1}=[2;+\infty [

*D'après (2) , 4x²-9x+2=x²-4x+4 \iff 3x²-5x-2=0

∆=49 , √∆=7

x_{1}=-\dfrac{1}{3} et x_{2}=2.

Soit S_{2}=\{-\dfrac{1}{3} ; 2\}

S_{\R}=S_{1} \cap S_{2}=[2;+\infty[ \cap \{-\dfrac{1}{3};2\}

Donc S_{\R}=\{2\}

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 13-08-20 à 23:06

Bonsoir, oui très bien

Posté par
Prototipe19
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 02:08

Hello , c'est nickel ! Du coup le reste c'est un jeu d'enfant

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 02:15

Ah bon , laisse moi te montrer ce que j'ai fait alors ..

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 02:36

b) \sqrt{-x²+3x-2}\geq x-1

Soit (I) : \sqrt{-x²+3x-2}\geq x-1

(I) \iff \begin{cases} x-1 \geq 0 & (1)\\ -x²+3x-2\geq0 &(2) \\ (\sqrt{-x²+3x-2}  )² \geq (x-1)² &(3)\end{cases}

J'aimerais savoir si la condition que je pose est juste avant de continuer..

Posté par
malou Webmaster
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 03:34

Bonjour
ta question laisse penser que tu n'as pas compris ce que tu as recopié pour a)
Faudrait peut-être pas nous prendre pour ce qu'on n'est pas...

Équations et inéquations irrationnelles dans R.

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 08:54

Bonjour , si tu crois que je n'ai pas compris alors donne moi un exercice et le saura en quelques minutes...

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 09:00

La résolution de ce genre d'équations ,est énormément simple..


Et puis j'étais épuisé à cette heure là ..

b) \sqrt{-x²+3x-2}\geq x-1

Soit (I) : \sqrt{-x²+3x-2}\geq x-1

Soit D l'ensemble de validité , x\in D \iff -x²+3x-2 \geq 0

Les deux zéros sont :x_{1}=1 et x_{2}=2.

x\in ]-\infty ; 1] \cup [2;+\infty [ , -x²+3x-2 \leq 0

x\in [1 ; 2] , -x²+3x-2 \geq 0

D=[ 1 ; 2 ]

On a deux cas :

*  x\in D et x-1 < 0

* x\in D et x-1 \geq 0

c) \sqrt{x²+3x+2}\leq 4x+6

Soit (I):  \sqrt{x²+3x+2}\leq 4x+6

(I) \iff \begin {cases} x²+3x+2\geq0 &(1) \\ 4x+6 \geq 0 & (2)  \\ x²+3x+2\leq(4x+6)² & (3) \end{cases}.

d) Pour les inéquations stricte est-ce pareil , juste en rendant les inégalités stricte ?

Posté par
malou Webmaster
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 09:32

b) absolument pas terminé
ce qui confirme bien ce que j'ai dit plus haut.

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 09:43

Oui , je sais..

Mais j'aimerais bien savoir si c'est le même processus avec les inégalités scrictes..

Posté par
malou Webmaster
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 10:07

cherche à comprendre ce que tu as écrit en a) et tu sauras répondre à ta question.

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 10:14

Ben  j'ai compris ..

√(4x²-9x+2)=x-2

Donc x-2 ≥0 et 4x²-9x+2=(x-2)² ..

Posté par
malou Webmaster
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 10:48

matheux14 @ 14-08-2020 à 10:14

Ben j'ai compris ..

Donc tout va bien
Je quitte, je passe la main.

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 10:54

Citation :
Mais j'aimerais bien savoir si c'est le même processus avec les inégalités scrictes..


Tu pourrais au moins me rassurer ..

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 13:33

b) \sqrt{-x²+3x-2}\geq x-1

Soit (I) : \sqrt{-x²+3x-2}\geq x-1

Soit D l'ensemble de validité , x\in D \iff -x²+3x-2 \geq 0

Les deux zéros sont :x_{1}=1 et x_{2}=2.

x\in ]-\infty ; 1] \cup [2;+\infty [ , -x²+3x-2 \leq 0

x\in [1 ; 2] , -x²+3x-2 \geq 0

D=[ 1 ; 2 ]

On a deux cas :

*  x\in D et x-1 < 0

* x\in D et x-1 \geq 0


x\in D et x-1 < 0 \iff x\in [1 ; 2] et x\in ]-\infty ; 1[.
Soit S_{1}=[1;2] \cap ]-\infty ;1[=

x\in D et x-1 \geq 0 \iff \begin {cases} x\in D &(1) \\ x-1 \geq 0 &(2) \\ -x²+3x-2 \geq (x-1)² &(3)\end{cases}.

. D'après (1) : x\in [1 ;2]

. D'après (2) : x \in [1 ;+\infty[

. D'après (3) : -2x²+5x-3 \geq 0

Les zéros sont : x_{1}=\dfrac{3}{2} et x_{2}=1.

Il vient x\in [1 ;\dfrac{3}{2} ] , -2x²+5x-3 \geq 0

Soit S_{2}=[1;2] \cap[1;+\infty[ \cap [1;\dfrac{3}{2}].

S_{2}=[1 ; \dfrac{3}{2}].

S_{\R}=S_{1} \cup S_{2}=[1;\dfrac{3}{2}].

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 14:16

C'est juste mais un peu compliqué.
Par exemple, dès que tu sais que le domaine de validité est [1:2] il est inutile de regarder le cas x-1 < 0
mais bon pourquoi pas, ta démarche est juste et irréprochable.

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 14:39

Ok ,

c) c) \sqrt{x²+3x+2}\leq 4x+6

Soit (I):  \sqrt{x²+3x+2}\leq 4x+6

(I) \iff \begin {cases} x²+3x+2\geq0 &(1) \\ 4x+6 \geq 0 & (2)  \\ x²+3x+2\leq(4x+6)² & (3) \end{cases}.

*D'après (1) : x²+3x+2\geq 0

Les zéros sont : x_{1}=-2 et x_{2}=-1.

Il vient x\in ]-\infty ;-2] \cup [-1 ;+\infty[ , x²+3x+2 \geq 0

Soit S_{1}=]-\infty ;-2] \cup [-1 ;+\infty[

*D'après (2): 4x+6 \geq 0 \iff x\geq -\dfrac{3}{2}

Soit S_{2}=[-\dfrac{3}{2};+\infty[.

*D'après (3): x²+3x+2 \le 16x²+48x+36 \iff -15x²-45x-34\le 0 \iff 15x²+45x+34\ge 0

∆=-15

∆<0

Donc \in \R , -15x²-45x-34 <0

Il vient alors S_{3}=∅.

S_{\R}=S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}=( ]-\infty;-2] \cup [-1;+\infty[ ) \cap [-\dfrac{3}{2};+\infty[=[-1;+\infty[.

S_{\R}=[-1;+\infty[.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 16:32

le résultat est juste mais je n'ai pas compris ton S_{3}=\emptyset

si l'inégalité (3) est toujours vérifiée alors S3 =

(d'ailleurs si S_{3}=\emptyset, tu aurais dû trouver pour S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3})

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 16:47

Oui , mais

Citation :
Donc \in \R , -15x²-45x-34 {\red{<}0


C'est là que ça coince ...

Il n'y a aucun zéro ..

Posté par
Pirho
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 17:41

Bonjour,

en attendant le retour de Glapion ou malou

je n'ai pas vérifié tes calculs précédents mais

Citation :
Il n'y a aucun zéro ..
on s'en f...

revois un peu les signes du trinôme du 2d degré!

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 17:56

Oui , le fait que -15x²-45x-34 strictement négatif implique que la solution est IR...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 18:47

Oui voilà c'est ça, un trinôme du second degré qui n'a pas de racine est toujours du signe de son terme de plus haut degré.

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 19:18

d) \sqrt{1-4x²} > x

Soit D l'ensemble de validité.

x\in D \iff 1-4x² \ge 0

Il vient x=-\dfrac{1}{2} ou x=\dfrac{1}{2}.

Et D=[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}].

On a deux cas :

* x\in D et x <0

* x\in D et x\ge 0.

x \in D et x < 0 \iff x\in [-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}] et x\in ]-\infty ;0[.

Soit S_{1}=[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}] \cap ]-\infty ;0[=[-\dfrac{1}{2} ;0[ .


x\in D et x \ge 0 \iff \begin{cases} x\in [-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}] & (1) \\ x\in[0;+\infty[ &(2) \\(\sqrt{1-4x²})² > x² &(3) \end{cases}

. D'après (1) : x\in [-\dfrac{1}{2} ;\dfrac{1}{2}]

. D'après (2) : x\in [0;+\infty[

. D'après (3): 1-4x² > x² \iff -5x²+1 >0

Les zéros sont : x_{1}=-\sqrt{\dfrac{1}{5}} et x_{2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}.

Donc x\in ]-\sqrt{\dfrac{1}{5}} ; \sqrt{\dfrac{1}{5}}[ ; -5x²+1 >0.

Il vient S_{2}=[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}] \cap ]- \sqrt{\dfrac{1}{5}} ; \sqrt{\dfrac{1}{5}}[ \cap [0; \infty[=[0;\sqrt{\dfrac{1}{5}}[.

S_{2}=[0;\sqrt{\dfrac{1}{5}}[.

S_{\R}=S_{1} \cup S_{2}=[-\dfrac{1}{2};0[ \cup [0;\sqrt{\dfrac{1}{5}}[=[-\dfrac{1}{2} ; \sqrt{\dfrac{1}{5}}[.

S_{\R}=[-\dfrac{1}{2} ; \sqrt{\dfrac{1}{5}}[

Posté par
lake
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 21:26

Bonsoir,

Très juste

  Je me permets d'écrire ici quelques équivalences que j'ai barbotées à alb12. Merci à lui!

    \sqrt{a}=b\iff(a=b^2 \text{ et } b\geqslant0)

\sqrt{a}\leqslant b\iff(a\leqslant b^2 \text{ et } a\geqslant0 \text{ et } b\geqslant0)

\sqrt{a}\geqslant b\iff(a\geqslant b^2 \text{ et } b\geqslant0) \text{ ou } (a\geqslant0 \text{ et } b<0)

  >>matheux14, tu n'as guère fait autre chose que de les appliquer

Dans le cas des inéquations strictes, il faut un peu les aménager.

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 21:50

Pour la dernière question bof , je galère dur ..

Posté par
lake
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 22:06

Avec aménagement pour une inégalité stricte :

  \sqrt{a}< b\iff(a< b^2 \text{ et } a\geqslant0 \text{ et } b\geqslant0)

Tu peux tenter d'appliquer cette équivalence. Bien entendu, ce n'est qu'une suggestion...

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 14-08-20 à 23:12

Oui , et c'est plus rapide ..

J'arrive à S_{\R}=[-\dfrac{2}{7};1[ \cup ]2;+\infty[

Posté par
lake
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 10:00

Exact!

Posté par
alb12
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 11:22

Excellent ! Bravo !
Juste un détail: pour afficher un crochet taper \left[

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 11:59

D'accord , merci

Posté par
alb12
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 14:30

Il n'est pas interdit de verifier

Posté par
carpediem
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 15:41

salut

matheux14 @ 13-08-2020 à 21:47

Résoudre dans \R.

a) \sqrt{4x^2 - 9x + 2} = x - 2

b) \sqrt{-x²+3x-2}\geq x-1

c) \sqrt{x²+3x+2}\leq 4x+6

e) \sqrt{1-4x²} >x

f) \sqrt{2+7x} < x+2

il existe différentes philosophies en math ...

pour ma part et comme me l'a inculqué mon éminent prof de math au lycée quand je dois résoudre une (in)équation la première chose que je fais c'est de m'assurer qu'elle a un sens et que les objets en présence existent ...

sous forme de boutade il disait  : quelle est la différence entre un pigeon ? (repris par l'illustre Coluche)

dans tous les cas le second membre est un polynome et l'on sait que tout polynome est défini sur R donc il n'y a aucun pb et je ne m'en occupe jamais !!

par contre le premier membre est une expression définie à partir d'une racine carrée donc la première chose que je fais c'est de préciser son existence et domaine de validité :

pour pouvoir étudier l'équation \sqrt{4x^2 - 9x + 2} = x - 2 il est nécessaire que 4x^2 - 9x + 2 \ge 0

je m'attelle donc à cette tache :

\Delta = (-9)^2 - 4 \times 4 \times 2 = 49 = 7^2 \red = (-7)^2  (je préfère toujours l'écrire ainsi en une suite d'égalités plutôt que d'introduire une racine carrée)

le trinome admet donc deux racines .... qui sont 1/4 et 2

PS : j'ai écrit (-7)2 et tu peux vérifier qu'en prenant -7 à la place de 7 on trouve la même chose !!

et ce trinome est positif à l'extérieur de ses racines (signe du coefficient de x2) (THE cours)

donc je suppose que x \in ]-\infty, 1/4] \cup [2, +\infty[ (*)

maintenant que je travaille sur cet ensemble je peux résoudre cette équation :

\sqrt{4x^2 - 9x + 2} = x - 2  {\red \Longrightarrow}  (x - 2)(4x - 1) = (x - 2)^2 \iff (x - 2)(3x + 1) =0 \iff x = 2 $ ou $ x = -1/3

or l'implication ... implique de vérifier les solutions : ici le second membre est strictement négatif en -1/3 (et une racine carrée est positive) donc -1/3 n'est pas solution et ...  (+)

donc la solution est 2



REM : il est dommage de ne pas se rendre compte que pour un trinome :avoir des racines <=> être factorisable et ho super un des facteurs est le second membre ... trop cool !!!

PS : on aurait pu aussi préciser (+) au début : l'équation n'a pas de solution si x < 2 et ne travailler que sur 'intervalle [2, +oo[

et alors à la place d'une implication on a une équivalence, ce qui ne nécessite plus de vérifier les solutions ...


\sqrt{-x^2 + 3x - 2} \ge x - 1

x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) donc je suppose que x \in [1, 2]   \red (*)

\forall x \in [1, 2]  :  \sqrt {-x^2 + 3x - 2} \ge x - 1 \iff (x - 1)(2 - x) \ge (x - 1)^2 \iff (x - 1)(3 - 2x) \ge 0 \iff x \in [1, 3/2]

donc d'après (*) l'ensemble des solutions est l'intervalle [1, 3/2]

c'est à nouveau un cas particulier cas les deux membres s'annulent en 1 donc je fais encore le troisième :

\sqrt{x^2 + 3x + 2} \le 4x + 6

x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) donc je suppose que x \in ]-oo, -2] \cup [-1, +oo[  (1)

et pour travailler par équivalence je suppose aussi que 4x + 6 \ge 0 \iff x \ge -3/2 (2)

donc d'après (1) et (2) je suppose que x \in [-1, +oo[  (3)

\sqrt{x^2 + 3x + 2} \le 4x + 6 \iff {\ed 0 \le \sqrt{x^2 + 3x + 2} \le 4x + 6 \iff x^2 + 3x + 2 \le (4x + 6)^2 \iff 15x^2 + 45x +34 \ge 0 \iff 15x^2 + 45x + 30 + 4 \ge 0 \iff 15(x^2 + 3x + 2) + 4 \ge 0

ce qui est évidemment vrai d'après (1)

donc l'ensemble des solutions est [-1, +oo[

...

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 15:51

Merci

Posté par
carpediem
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 16:10

de rien ... mais si j'ai fait ce long post c'est pour que tu l'étudies et en retires des choses ...

on pourrait résoudre "formellement" toutes ces (in)équations sans s'occuper de domaine d'existence ou de validité et autres conditions mais il faudrait impérativement vérifier les valeurs trouvées au final ... donc autant le faire au début ...

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 16:19

OK

Posté par
alb12
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 18:17

Moi mon maître c'est Pythagore:
Ne dis pas peu de choses en beaucoup de mots
Dis beaucoup de choses en peu de mots

Posté par
carpediem
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 20:20

tu as parfaitement raison : je dis beaucoup de choses en peu de mots ... encore faut-il pouvoir en tirer la substantifique moelle ... sans à priori ni préjugé ...

Posté par
alb12
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 15-08-20 à 22:11

eu egard à ses reponses, matheux14 aurait fait un excellent disciple de Pythagore !

Posté par
matheux14
re : Équations et inéquations irrationnelles dans R. 16-08-20 à 06:33

alb12 @ 15-08-2020 à 22:11

eu egard à ses reponses, matheux14 aurait fait un excellent disciple de Pythagore !


Ah bon ???

Mais çà alors c'est super !!!



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !