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Niveau Licence-pas de math
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Espaces L2, D1 et D2

Posté par
H3110W0r1d
19-06-19 à 11:26

Bonjour,

Les deux premiers paragraphes sont du background donc vous pouvez les passer

Je sens que je vais me faire lyncher ou ignorer mais bon..
J'éprouve des difficultés à assimiler des concepts qui semblent pourtant élémentaires, et je commence à manquer de temps pour me renseigner davantage..

Rien dans mes TDs ni le cours que j'ai récupéré ne porte directement la dessus et je manque cruellement de vocabulaire mathématique.

Soit une fonction f(x) réelle qui vaut 0 sauf pour x \in [0,1]
Et une autre qui vaut f(x) =1/2 (x+|x|), x \in [-1,1]
Et 0 ailleurs

Il faut pour les deux fonctions :
1) Déterminer si elles sont dans L^2(\R)
2) Trouver la dérivée première au sens des distributions
3) Déterminer si elles sont dans  D^1(\R)
4) Trouver la dérivée seconde au sens des distributions
5) Déterminer si elles sont dans  D^2(\R)

Et voici le peu que je pense pouvoir en dire (c'est truffé de fautes)
1) elles sont toutes deux dans  L^2 car l'intégrale de leur carré ne diverge pas
2)
La première fonction : f1'(x) = \delta (0) - \delta (1)

La seconde : f2'(x) = f1(x)
3) bonne question.
À l'instinct je dirais que oui pour les deux fonctions, quant à savoir pourquoi..
4) et là j'y arrive plus pour f1''(x)
Pour moi c'est elle même mais je ne pense pas que ça soit juste puisque j'ai vu qu'il y avait des histoires de produit scalaire avec une fonction phi dont je n'ai pas trouvé la définition.
Pour f2''(x) si la 2) est juste c'est simplement f1'(x)
5)  il vaut mieux arrêter le massacre?
À l'instinct non pour f1 oui pour f2

Je serais surpris de recevoir des réponses détaillées dans les temps qui me sont impartis donc un lien qui n'est pas wikipedia  et qui pourrait m'expliquer simplement par le biais d'exemples ne serait pas de refus.

Merci par avance pour votre attention.

Posté par
H3110W0r1d
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 11:37

Je me permet de corriger et résumer mon propre post parce que j'ai commis l'immense erreur de ne pas me relire en prenant un pdv extérieur.

la premiere fonction vaut 1 entre 0 et 1
Grossièrement j'ai besoin de comprendre ce que représente  \D^n
Et comment trouver une dérivée n-ième au sens des distributions

Posté par
H3110W0r1d
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 11:47

Oh. Mon. Dieu.
En fait mêmes questions mais pour H au lieu de D

Désolé...

Posté par
jsvdb
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 12:58

Bonjour H3110W0r1d.
Je t'avoue n'avoir pas connaissance de ce que l'on appelle les espaces \D^n(\R).
Pour \Omega\subset \R^n, ouvert, je ne connais que l'espace \mathcal D(\Omega) qui est l'espace des fonctions C^\infty à support compact dans \Omega et l'espace \mathcal D'(\Omega) qui est son dual topologique.
Quand à l'espace H, s'agit-il des espaces de Sobolev H^m = W^{m,2} ?

Posté par
H3110W0r1d
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 14:18

Bonjour !
L'espace    \mathcal D(\Omega) est hors de propos , c'est ma mémoire qui m'a joué des tours pendant la nuit et fait confondre deux exercices.
 \D^n(\R) est encore une  erreur de ma part (je suis un peu dans la panique et ça me fait faire n'importe quoi)

Après m'être renseigné j'avais fini par penser que H était l'espace de Hilbert et H2 l'espace de Hardy
le probleme c'est que "Hardy" n'est pas mentionné une seule fois dans mon cours (qui est un polycopié d'un professeur qui enseignait la même matière jusqu'à il y a une dizaine d'année) et comme tu le mentionne il existe aussi des espaces de Sobolev (qui n'est pas mentionné non plus).
mais au vu des autres questions et du peu que j'ai pu comprendre  c'est l'espace de Hardy qui fait le plus sens à mes yeux

Posté par
jsvdb
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 14:23

Indépendamment de cela, la dérivée de la distribution [f] où f est définie par \frac{1}{2}(x+|x|)\mathbf{1}_{[-1,1]} = x\mathbf{1}_{[0,1]} est [f]' = [\mathbf{1}_{[0,1]}]-\delta_1

Pour mémoire, si f est une fonction localement intégrable sur \R,

on définit la distribution notée [f] ou bien T_f comme étant la forme linéaire \varphi \in \mathcal D(\R) \mapsto \int_\R f(t)\varphi(t)dt

On a donc [f](\varphi) = T_f(\varphi) = \int_\R f(t)\varphi(t)dt,~\forall \varphi \in \mathcal D(\R)

On peut aussi noter en crochets de dualité [f](\varphi) = T_f(\varphi) =\langle [f], \varphi\rangle

Posté par
jsvdb
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 14:27

Je ne vois pas du tout ce que l'espace de Hardy H^2(\D) viendrait faire là-dedans ?

Posté par
H3110W0r1d
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 14:57

Après relecture de la page wikipedia sur l'espace de Hilbert vous devez avoir raison. C'est le lien entre les séries de fourier et et l'espace de Hardy qui a dû m'induire en erreur. Mais ma fonction n'est pas complexe et il n'y a pas d'histoire de disque compact ici.

La dérivée que vous me donnez fait sens.. Merci je vois mieux comment ça marche à ce niveau là

Pour ce qui est de la définition d'une distribution la fonction  \varphi \in \mathcal D(\R) me pose problème, je ne vois pas bien ce qu'elle représente ni même comment calculer cette intégrale.

Posté par
jsvdb
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 15:00

La fonction \varphi est ce que l'on appelle une fonction test et il ne faut pas chercher à calculer l'intégrale, juste utiliser ses propriétés, celles des fonctions test et savoir intégrer par parties.

Posté par
H3110W0r1d
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 15:05

Pour ce qui est de l'exercice
Si la fonction   [f]' = [\mathbf{1}_{[0,1]}]-\delta_1 est aussi de carré sommable alors elle est dans  H(R)?
Cela revient-il bien à se demander si  [f]² ne diverge pas ?

Posté par
H3110W0r1d
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 16:13

Bon j'ai un peu réfléchit à tout ce que vous venez de me dire.
En fait j'ai l'impression de ne pas du tout avoir les prérequis;

donc dans le cas où f(x) = \frac{1}{2} ( x + |x| ) = x\mathbf{1}_{[0,1]}
comme  f'(x) = \mathbf{1}_{[0,1]} - \delta(1)

une intégration par partie sur la formule que vous m'avez donné serait sauf erreur  \int f(t) \varphi '(t)dt = [f(t) \varphi(t)] - \int f'(t) \varphi (t) dt
et donc
 \int t\mathbf{1}_{[0,1]} \varphi '(t) dt = [t \varphi(t)]  - \int  (\mathbf{1}_{[0,1]} - \delta(1)) \varphi(t) dt

et là l'aventure s'arrête pour moi concrêtement.

Posté par
jsvdb
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 19:28

H3110W0r1d @ 19-06-2019 à 15:05

Pour ce qui est de l'exercice
Si la fonction  \red [f]' = [\mathbf{1}_{[0,1]}]-\delta_1 est aussi de carré sommable alors elle est dans  H(R)?

Ça n'a pas de sens : l'objet \red [\mathbf{1}_{[0,1]}]-\delta_1 est une distribution non régulière, c'est-à-dire qui n'est pas représentable par une fonction localement intégrable (parce que la distribution \delta_1 ne l'est pas.)

Par ailleurs, je ne sais pas ce que tu entends par H(R) ...

Posté par
jsvdb
re : Espaces L2, D1 et D2 19-06-19 à 19:31

Par ailleurs, si T est une distribution sur IR, alors, sa dérivée, notée T', est une distribution sur IR définie par :

\forall \varphi \in \mathcal D(\R),~\langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle



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