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Etude d'une fonction
Bonjour je fais un exercice sur les variations d'une fonction et j'aimerais bien un peu d'aide :
f est la fonction définie sur R par f(x)= (4x^2)/(4+x^4)
On se propose de démontrer qu'il existe deux nombres réels m et M tel que pour tout nombre réel x :
m ≤f(x)≤M
a)Affichez la courbe représentative de f sur l'écran d'une calculatrice. Conjecture les valeurs possibles de m et M.
b) Prouver les conjectures précédentes.
a) Pour tout m ≤0 on a l'impression que m≤ f(x)
et pour tout M ≥ on a l'impression que f(x)≤ M
b) Pour le prouver je pensais en premier calculer la dérivée de f(x):
f'(x)= (-8x^5+32x)/(4+x^4)^2
et ensuite appeler k la fonction k(x)=f(x)-f'(x) pour étudier le signe et ainsi démontrer la conjecture. Mais je ne sais pas si c'est bien de faire ça où si il vaut mieux faire un tableau de variation pour étudier les variations de f(x) ?
Voilà merci beaucoup par avance.
bonjour
a) quelles valeurs as-tu conjecturées pour m et M ?
b) étudie les variations de f pour en déduire les extremums.
Pour la conjecture on pourrait dire que m= -1 et M=1
b) J'ai fait un tableau de variation donc entre -infini et -racine2 la fonction f est strictement croissante puis entre -racine 2 et 0 elle est décroissante puis entre 0 et racine 2 elle est à nouveau croissante puis entre racine 2 et +infini elle est décroissante. En disant que cette fonction est paire je peu limiter l'étude entre -racine2 et racine 2 ?
Donc -racine2 ≤f(x)≤racine2
Pour la conjecture on pourrait dire que m= -1 et M=1 -- je ne suis pas d'accord avec m=-1
mais la démonstration t'aidera à trouver ton erreur
b) J'ai fait un tableau de variation --- d'accord avec les variations que tu décris.
En disant que cette fonction est paire je peu limiter l'étude entre -racine2 et racine 2 ? --- en rouge, faux; revois le cours sur la parité
Donc -racine2 ≤f(x)≤racine2 -- non
b) à partir du tableau de variation (montre-le si tu veux), quels extremums de f en déduis-tu ?
en fait je n'ai pas fait de cours sur la parité d'une fonction,
A partir du tableau de variation les extremums de la fonction sont
pour f(-racine 2)=1 et f(racine 2)=1 ce sont donc les maximum et le minimum local est f(0)=0
Je suis donc allé cherché sur internet comment démontrer qu'une fonction est paire. Donc pour tout x appartenant à R, -x appartient à R. f(-x)= 4(-x)^2/(4+(-x)^4)=f(x) donc f est paire
Bonjour,
En attendant que Carita revienne,
Ok pour la parité mais si tu n'as pas vu cela en cours, on peut s'en passer.
Pour étudier le sens de variation d'une fonction, on calcule comme tu l'as fait, la dérivée de la fonction puis on étudie le signe de cette dérivée.
Reviens à cette démarche et étudie le signe de ta dérivée (elle est exacte).
Ok alors le signe de la dérivée est :
positif sur -infini; -racine 2
négatif sur -racine 2; 0
positif sur 0; racine2
négatif sur racine2;+infini
Ce signe de la dérivée provient bien de l'étude du signe de
(-8x5+32x) ? (et pas d'une interprétation graphique qui serait une simple conjecture...)
Si oui , alors tu as du faire le tableau de variation de f et démontrer ainsi les conjectures émises à partir de la courbe représentative de f.
Donc plus de problèmes ?
suite
Ultime (?) indication :
Es tu capable de dire comment se comporte la fonction f quand x tend vers +oo ? vers -oo ?
As tu déjà fait des études de limites ?
Oui oui j'ai étudié le signe de la dérivée donc du numérateur j'ai écris
(-8x5+32x)=-8x(x^4-4)=0 pour trouver les racines : -racine2, 0, et racine2.
Donc je n'ai pas encore étudié les limites j'ai donc cherché un cours sur internet. Etant donné que en l'infini la limite d'un quotient de polynômes est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degrés (donc ici 4x^2/x^4 = 4/x^2)
lim 4/x^2 =0 Donc la fonction f tend vers 0 quand x tend vers +oo et elle tend aussi vers 0 quand tend vers -oo
merci ZEDMAT d'avoir pris le relais 
Albanmaths2, c'est bien.
A partir du tableau de variation les extremums de la fonction sont
pour f(-racine 2)=1 et f(racine 2)=1 ce sont donc les maximum et le minimum local est f(0)=0
exact
ce qui te permet de rectifier la conjecture initiale pour m.
par géogébra, on conjecture effectivement que la courbe semble comprise entre les droites y=0 (minimum m=0) et y=1 (maximum M=1) :
0 ≤ f(x) ≤1
juste une remarque quant à la parité (fonction paire, donc), même si tu ne l'as pas encore apprise,
tu peux toutefois voir que géométriquement, on a une symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées.
bonne soirée à tous les deux
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