1)
a = 0 -> y = 2x + 1  (une droite)

a différent de 0: (parabole)
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2)
f1(x) = x² + 2
f1'(x) = 2x

f1'(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> f1(x) décroissante.
f1'(x) = 0 pour x = 0
f1'(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> f1(x) croissante.
Il y a un minimum de f1(x) pour x = 0, ce min vaut f1(0) = 2
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3)
a = 0 -> y = 2x + 1
a = 1 -> y = x² + 2

Points communs par le système:
y = 2x + 1
y = x² + 2

x² + 2 = 2x + 1
x² - 2x + 1 = 0
(x - 1)² = 0
x = 1 -> y = 3.
Le point commun entre C0 et C1 a pour coordonneés A(1 ; 3)

Montrons que ce point appartient à fa quel que soit a

fa(1) = a + 2(1 - a) + 1 + a = 3 et ceci quel que soit a. -> OK

fa'(x) = 2ax + 2(1 - a)
fa'(1) = 2a + 2 - 2a = 2

Ta(1):  y - 3 = (x - 1).2
Ta(1): y = 2x + 1  est la tangente commune en A à tous les Ca

et avec C0 = 2x + 1 ->

Toutes les courbes Ca ont un point commun A(1 ; 3) et en ce point, elles
admettent toutes C0 pour tangente
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4)
Sa a pour abscisse:  -(1-a)/a = (a - 1)/a

fa((a-1)/a) = a.(a-1)²/a² + 2(1-a)(a-1)/a + 1 + a
fa((a-1)/a) = (a-1)²/a - 2(a-1)²/a + 1 + a
fa((a-1)/a) = -(a-1)²/a + 1 + a
fa((a-1)/a) = (-(a²-2a+1) + a + a²)/a
fa((a-1)/a) = (3a-1)/a

x(a) = (a - 1)/a
y(a) = (3a-1)/a

ax = a - 1
a(x-1) = -1
a = 1/(1-x)

y = ((3/(1-x)) - 1)/(1/(1-x))
y = 3 - (1-x)
y = x + 2 est l'équation de la droite sur laquelle se trouvent
tous les Sa.
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Sauf distraction.    

comment trouve-t-on l abscisse de Sa svp?
merci!!!

L'abscisse du sommet de la parabole est déterminée en calculant
le nombre qui annule la dérivée de fa.

@+

pour la toute derniere kestion, trouver "y=x+2" est suffisant pour
prouver que tous les Sa sont alignés? et encore merci pour tout!