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etude d une fonction Dm

Posté par sarah93 (invité) 23-01-05 à 12:52

bonjour a tous j'ai essayé de commencer mon dm mais je suis vite bloquer pouvez vous m'aider a le resoudre svp merci de votre aide

etude de la fonction f(x)= x²-x+2 / x-2
on note Cf sa courbe représentative
1a) determiner l'ensemble de definition de f.
ma soluton:il faut que x-2 soit différent de 0 donc f est definie sur R/{2}
1b)détérminer les limites de f aux bornes de son intervalle de definition
ma solution:lim f(x))=-infini et lim f(x)=+infini
             x->-inf               x->+infini

Comme pour tout réel x différent de 2,f(x)= x²-x+2 / x-2 alors la droite D d'équation y=x est une asymptote a la courbe de f aux voisinages des infinis.
1c)en deduire que Cf admet une asymptote verticale /_\(triangle)1,dont on précisera une équation

2a)Determiner des réels a,b et c tels que f(x)=ax+b+ c/x-2
2b)en deduire que Cf admet une asymptote oblique /_\2 au voisinage de +infinie(et - infini) dont on donnera une equation
c)Etudier suivant les valeurs de x,la position relative de Cf et /_\2

3a)montrer que f'(x)=x²-4x/ (x-2)²
ma solution: x²- racine de 4x / racine de (x-2)²= f(x)=x²-x+2 / x-2
3b)determiner deux reels x1 et x2 soient horizontales.Préciser leur équation.
4.Cf coupe t-elle l'axe des abscisses?Justifier
5.Représenter,dans un repère orthogonal(0;i;j)on prendra comme unité 1cm pour unité en ordonnées les droites /_\1,/_\2,T1,T2 puis tracer Cf.
merci a tous de votre aide bonne journée

Posté par slybar (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 13:35

Bonjour,

ta fonction f(x)= x²-x+2 / x-2 =x^2-x+\frac{2}{x-2}
ou f(x)= x²-x+2 / x-2==\frac{x^2-x+2}{x-2}

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 14:09

c f(x)= x²-x+2 / x-2
la deuxieme
x²-x+2 au numérateur et x-2 au denominateur

Posté par slybar (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 14:24

Ton domaine de def est D=-{2}

f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}(\frac{x^2}{x})=\lim_{x\to +\infty}x=+\infty
de même en -\infty
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty} x=-\infty
f'(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}

\begin{tabular}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&0&&2&&4&&+\infty\\{f'(x)}& &+&0&-&||&-&0&+& \\{f(x)}&&\nearrow&&\searrow&&\searrow&&\nearrow&&\\\end{tabular}

Posté par slybar (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 14:55

Si\lim_{x\to a} f(x)=+\infty(ou\lim_{x\to a} f(x)=-\infty)
alors la droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f.



\lim_{x\to 2^-} f(x)= \lim_{x\to 2^-}\frac{x^2-x+2}{x-2}
\lim_{x\to 2}x^2-x+2=4 et
\lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty
\lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty
donc
\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty
\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty

Asymptote verticale en 2 donc \Delta_1 a pour équation x=2


2a)Determiner des réels a,b et c tels que f(x)=ax+b+ c/x-2
f(x)=\frac{(ax+b)(x-2)+c}{(x-2)}=\frac{x^2-x+2}{x-2}
\frac{ax^2+bx-2ax+bx-2b+c}{(x-2)}=\frac{x^2-x+2}{x-2}
ax²=x²a=1
x(b-2a)=-xb-2a=-1b=-1+2a=1
-2b+c=2c=2+2b=4
donc f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}

Si\lim_{x\to +\infty} f(x)-(ax+b)=0(ou\lim_{x\to -\infty} f(x)-(ax+b)=0), alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe représentative de f en + \infty(ou en -\infty).

\lim_{x\to +\infty} f(x)-(x+1)=\lim_{x\to +\infty}x+1+\frac{4}{x-2}-(x+1)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4}{x-2}=0
pareil en -\infty
Ici l'asymptote oblique est \Delta_2 d'équation y=x+1

f(x)-(x+1)>0 \frac{4}{x-2}\g0 dépend du signe de x-2
si x]-\infty;2[ alors f(x)<(x+1)
si x]2;+\infty[ alors f(x)>(x+1)

3b)determiner deux reels x1 et x2 soient horizontales.Préciser leur équation.

je ne comprends pas bein cette question

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 15:16

merci beaucoup de votre aide
il y a eu erreur de ma part dans l'enoncé dsl
la question n'était pas
3b)determiner deux reels x1 et x2 soient horizontales.Préciser leur équation.
mais
determiner deux reels x1 et x2 tels que les tangentes a Cf aux points d'abscisses x1 et x2 soient horizontales.Préciser leur équation.

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 15:52

up svp
pour la question 3b)
determiner deux reels x1 et x2 tels que les tangentes a Cf aux points d'abscisses x1 et x2 soient horizontales.Préciser leur équation.
4)Cf coupe t-elle l'axe des abscisses?Justifier
5)Représenter,dans un repère orthogonal(0;i;j)on prendra comme unité 1cm pour unité en ordonnées les droites /_\1,/_\2,T1,T2 puis tracer Cf.
merci a tous de votre aide et bonne journée

Posté par slybar (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 16:11

Les asymptotes sont horizontales pour les valeurs qui annulent la dérivée de f car l'équation de la tangente est :
y=f'(x1)(x-x1)+f(x1)
le coeff directeur =0 donc f'(x1)=0

f'(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}
les valeurs qui annulent la dérivée sont 0 et 4

l'équation de la tangente en 0 est :
y=f'(0)(x-0)+f(0)
or f'(0)=0 f(0)=-1 donc y=-1 est la tangente en 0
de même en 4
y=f'(4)(x-4)+f(4) f'(4)=0 et f(4)=7
y=7

La courbe f ne coupent jamais l'axe des abscisses :
\begin{tabular}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&0&&2&&4&&+\infty \\{f'(x)}& &+&0&-&||&-&0&+& \\{f(x)}&&-\infty\nearrow-1&&\searrow&&\nearrow7&&\searrow+\infty&&\\\end{tabular}

Posté par slybar (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 16:21

je me suis trompé dans le tableau de signe
\begin{tabular}{|c|cccccccccc||}x&-\infty&&0&&2&&4&&+\infty \\{f'(x)}& &&+&0&-&||&-&0&+& \\{f(x)}&&-\infty&\nearrow&-1&\searrow&&\searrow&7&\nearrow&+\infty&\\\end{tabular}

Sur ]-\infty;0] f(x) varie de ]-\infty;-1]
sur [0;2[ f(x)varie de [-1;-\infty[
Sur ]2;4] f(x)varie de [+\infty;7]
sur [4;+\infty[ f(x) varie de [7;+\infty]

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 17:08

merci de votre aide encore une fois,mais les reels x1 et x2 sont lesquelles  7 et quoi?
merci de votre aide
et Cf coupe t-elle l'axe des abscisses?

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 17:09

a dsl jai mal lu je veut juste savoir quels est le reels x2 svp je nai pa compris

Posté par slybar (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 17:13

x1et x2 sont les valeurs qui annulent la dérivée de f.
f'(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}(

Posté par slybar (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 17:14

soit x1=0 et x2=4
soit x1=4 et x2=0

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 17:28

d'accord merci en tout cas infiniment de votre aide passez une bonne fin de journée

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 18:55

dsl derniere question que je n'ai pas reussi a faire cette question est la suivante
3a)montrer que f'(x)=x²-4x/ (x-2)²
merci a tous de cett derniere aide bonne journée

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 19:07

up svppppppppp c la seule question qui me reste et que je n'ai pas compris
3a)montrer que f'(x)=x²-4x/ (x-2)²

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 19:39

up

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 20:03

up up svp
dsl derniere question que je n'ai pas reussi a faire cette question est la suivante
3a)montrer que f'(x)=x²-4x/ (x-2)²
merci

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 20:19

up please

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 20:38

up up svp
dsl derniere question que je n'ai pas reussi a faire cette question est la suivante
3a)montrer que f'(x)=x²-4x/ (x-2)²
merci

Posté par sarah93 (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 20:58

up up svp
dsl derniere question que je n'ai pas reussi a faire cette question est la suivante
3a)montrer que f'(x)=x²-4x/ (x-2)²
merci

Posté par slybar (invité)re : etude d une fonction Dm 23-01-05 à 21:47

Sarah93,

f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}
c'est de la forme \frac{u}{v}
(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}
ici u=x^2-x+2 u'=2x-1
et  v=x-2     v'=1
donc f'(x)=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x+2)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x+2-x^2+x-2}{(x-2)^2}
f'(x)=\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}


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