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Étude de fonction avec paramètre

Posté par
Samsco 04-10-20 à 19:48

Bonsoir , j'ai besoin d'aide svp.

Exercice :

Soit fn la fonction numérique définie par f_n(x)=\dfrac{nx-1}{x-n} pour tout n∈ℕ .
On note (Cn) la courbe représentative de fn
(O , \vec{i} , \vec{j} )

1°) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ , (Cn) passe par 2 point fixes I(xI , yI) et J ( xJ ; yJ)à déterminer.

b) Donner l'équation de chacune des tangentes à (Cn) en chacun de ces points.

2°) Discuter suivant les valeurs de n le tableau des variations fn.

3°) Montrer que pour tout n ∈ ℕ , le point In(n;n) est un centre de symétrie pour (Cn) .

Reponses:

1-a)

Je sais que si (Cn) passe par 2 points fixes I et J alors f(xI) et f(xJ) est indépendant de n pour tout n mais je ne vois pas comment déterminer les coordonnées de ces points.

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 04-10-20 à 19:58

Bonsoir
Il y a plusieurs méthodes pour faire ça
mais sans grande théorie, tu peux prendre 2 courbes particulières (c'est à dire 2 valeurs de n ) puis chercher les points d'intersection
ensuite il te restera à montrer que ces points appartiennent à toutes les courbes

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 04-10-20 à 20:36

J'aimerais bien connaître le maximum de méthodes possibles.

\forall x \neq 1~,f_1(x)=\dfrac{x-1}{x-1}=1 \\ \\ \forall x \neq 0~ ,f_0(x)=-\dfrac{1}{x} \\ \\ f_1(x)=f_0(x) \iff -\dfrac{1}{x}=1 \\ \\ \iff x=-1 \\ \\ f_n(-1)=1 \\
Je ne trouve que I(-1 ; 1)

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 04-10-20 à 20:46

car l'une des deux fonctions ne doit pas être définie pour le second point
donc bof...
on ne peut pas dire que toutes les courbes passent par 2 points fixes à mon avis à cause des cas particuliers, ton énoncé n'est pas top...
si on en reste à cette méthode choisis n=0 et n=2

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 04-10-20 à 20:59

\forall x \neq 0~,f_0(x)=-\dfrac{1}{x} \\ \\ \forall x \neq 2~, f_2(x)=\dfrac{2x-1}{x-2} \\ \\ f_0(x)=f_2(x)\iff 2x²-x=-x+2 \\ \\ \iff x=1~ou~x=-1 \\

\forall x\neq n~, f_n(1)=-1~et~f_n(-1)=1

\forall \neq 1,(Cn) passe par I(1 ; -1) et J(-1 ; 1)

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 04-10-20 à 21:00

Quelle autre méthode je peux utiliser ?

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 04-10-20 à 21:58

tu cherches M(x_0 ; y_0) commun aux différentes courbes
pour tout n, y_0=\dfrac{nx_0-1}{x_0-n}
il va falloir que tu arrives à dire que cela est vrai pour tout n (aux exceptions près existantes)

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 04-10-20 à 22:28

Pour ça , je vais devoir choisir quelques valeurs de n?

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 05-10-20 à 08:49

non pas du tout justement avec cette méthode
après condition, tu fais un produit en croix, et tu écris ça sous forme d'un polynôme en n qui doit être identiquement nul, et de là viendront les conditions

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 05-10-20 à 19:10

y_0=\dfrac{nx_0-1}{x_0-1} \\ \\ \iff nx_0-1=y_0(x_0-1)

J'ai ne comprend pas ce que vous voulez dire par " identiquement nul".

Posté par
Priamre : Étude de fonction avec paramètre 05-10-20 à 19:27

Bonsoir,
Ce n'est pas  xo - 1 , mais  xo - n  qu'il faut.
Mets tous les termes à gauche du signe  = ; c'est l'expression du premier membre qui doit être identiquement nulle.

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 05-10-20 à 22:39

y_0=\dfrac{nx_0-1}{x_0-n} \\ \\ \iff nx_0-1-y_0(x_0-n)=0

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 05-10-20 à 22:44

\iff n(x_0+y_0)-x_0y_0-1=0 \\ \\

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 06-10-20 à 08:36

je repasse un petit coup, mais Priam bien sûr peut intervenir à tout moment

ceci tu dois le considérer comme un polynôme en n qui doit donc être ce qu'on appelle identiquement nul
dit autrement, pour toute valeur de n, il doit prendre la valeur 0
et cela ne peut se réaliser que lorsque tous ses coefficients sont nuls simultanément

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 06-10-20 à 08:52

On a: x0+y0=0 et -x0y0-1=0=> x0y0=-1

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 06-10-20 à 09:08

poursuis...faut savoir aller au bout d'une question seul, et éventuellement savoir se vérifier pour voir si tout concorde...

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 06-10-20 à 18:49

x0 et y0 sont les solutions de l'équation:
x²-1

x²-1=0 => x=1 ou x=-1

(x0=1 et y0=-1) ou (x0=-1 et y0=1)

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 07-10-20 à 15:37

Les points I et J ont donc pour coordonnées (-1 ; 1) et (1 ; -1).

Y a t-il encore une autre méthode ?

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 07-10-20 à 18:06

à condition que les fonctions bien sûr soient définies en ces points
non, je pense qu'au niveau méthode, ce sont les deux méthodes à utiliser

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 10-10-20 à 10:19

Ok

\forall , x \neq n~,f_n'(x)=\dfrac{n(x-n)-(nx-1)}{(x-n)^2}=\dfrac{1-n²}{(x-n)²} \\ \\ f_n'(-1)=\dfrac{1-n}{1+n} \\ \\ f_n'(1)=\dfrac{1+n}{1-n} \\ f_n(-1)=1 \\ f_n(1)=-1 \\ \\ (T_1): y=f_n'(-1)(x+1)+f_n(-1) \\               y=\left(\dfrac{1-n}{1+n}\right)x+\dfrac{2}{1+n} \\ \\ (T_2): y=f_n'(1)(x-1)+f_n(1) \\               y=\left(\dfrac{1+n}{1-n}\right)x-\dfrac{2}{1-n} \\

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 10-10-20 à 15:51

2-

\forall x \neq n~,f'(x)=\dfrac{1+n}{(x-n)^2}\times(1-n)

\forall x \neq n~,\dfrac{1+n}{(x-n)^2}>0

Donc le signe de f'(x) est celui de 1-n

On a:
1-n>0 <=> n<1
1-n >0 <=> n>1

*Si n<1 la fonction f est strictement décroissante sur Df
*Si n>1 la fonction f est strictement croissante sur Df

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 10-10-20 à 16:02

10h19
j'ai l'impression que tu as un peu tout mélangé
15h51
bon début, mais ensuite tout faux au niveau des conclusions

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 12-10-20 à 16:08

b)

\forall , x \neq n~,f_n'(x)=\dfrac{n(x-n)-(nx-1)}{(x-n)^2}=\dfrac{1-n²}{(x-n)²}{\blue{=\dfrac{(1-n)(1+n)}{(x-n)^2}}} \\ \\ f_n'(-1)={\blue{\dfrac{(1-n)(1+n)}{(-1-n)^2}=\dfrac{(1-n)(1+n)}{(1+n)^2}=}}\dfrac{1-n}{1+n} \\ \\ f_n'(1)={\blue{\dfrac{(1+n)(1-n)}{(1-n)^2}=}}\dfrac{1+n}{1-n} \\ \\ f_n(-1)=1 \\ f_n(1)=-1 \\ \\ (T_1): y=f_n'(-1)(x+1)+f_n(-1) \\ \\              y=\left(\dfrac{1-n}{1+n}\right)x+\dfrac{1-n}{1+n}+1 \\ \\              y=\left(\dfrac{1-n}{1+n}\right)x+\dfrac{2}{1+n} \\ \\ (T_2): y=f_n'(1)(x-1)+f_n(1) \\ \\               y=\left(\dfrac{1+n}{1-n}\right)x+\dfrac{1+n}{1-n}-1 \\      \\               y=\left(\dfrac{1+n}{1-n}\right)x+\dfrac{2n}{1-n}

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 12-10-20 à 16:10

Samsco

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 12-10-20 à 16:44

Samsco @ 10-10-2020 à 15:51

2-

\forall x \neq n~,f'(x)=\dfrac{1+n}{(x-n)^2}\times(1-n)

\forall x \neq n~,\dfrac{1+n}{(x-n)^2}>0

Donc le signe de f'(x) est celui de 1-n

On a:
1-n>0 <=> n<1
1-n >0 <=> n>1

*Si n<1 la fonction f est strictement croissante sur Df
*Si n>1 la fonction f est strictement décroissante sur Df

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 12-10-20 à 20:37

16h08
OK sauf
(T_2): y=f_n'(1)(x-1)+f_n(1) \\ \\ \\ y=\left(\dfrac{1+n}{1-n}\right)x\; {\red\textbrm{-}}\;\dfrac{1+n}{1-n}-1

16h44
OK, sauf une erreur de recopie vers la fn, tu as mis 2 fois "1-n > 0 " mais le reste est juste

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 14-10-20 à 08:43

Samsco @ 12-10-2020 à 16:08

b)

\forall , x \neq n~,f_n'(x)=\dfrac{n(x-n)-(nx-1)}{(x-n)^2}=\dfrac{1-n²}{(x-n)²}{\blue{=\dfrac{(1-n)(1+n)}{(x-n)^2}}} \\ \\ f_n'(-1)={\blue{\dfrac{(1-n)(1+n)}{(-1-n)^2}=\dfrac{(1-n)(1+n)}{(1+n)^2}=}}\dfrac{1-n}{1+n} \\ \\ f_n'(1)={\blue{\dfrac{(1+n)(1-n)}{(1-n)^2}=}}\dfrac{1+n}{1-n} \\ \\ f_n(-1)=1 \\ f_n(1)=-1 \\ \\ (T_1): y=f_n'(-1)(x+1)+f_n(-1) \\ \\              y=\left(\dfrac{1-n}{1+n}\right)x+\dfrac{1-n}{1+n}+1 \\ \\              y=\left(\dfrac{1-n}{1+n}\right)x+\dfrac{2}{1+n} \\ \\ (T_2): y=f_n'(1)(x-1)+f_n(1) \\ \\               y=\left(\dfrac{1+n}{1-n}\right)x{\blue{{-}}\dfrac{1+n}{1-n}-1 \\      \\               y=\left(\dfrac{1+n}{1-n}\right)x{\blue{-}}\dfrac{{\blue{2}}}{1-n}

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 14-10-20 à 08:44

Samsco @ 12-10-2020 à 16:44

Samsco @ 10-10-2020 à 15:51

2-

\forall x \neq n~,f'(x)=\dfrac{1+n}{(x-n)^2}\times(1-n)

\forall x \neq n~,\dfrac{1+n}{(x-n)^2}>0

Donc le signe de f'(x) est celui de 1-n

On a:
1-n>0 <=> n<1
1-n <0 <=> n>1

*Si n<1 la fonction f est strictement croissante sur Df
*Si n>1 la fonction f est strictement décroissante sur Df

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 14-10-20 à 08:58

Bonjour Samsco
oui, j'ai lu en diagonale, mais je crois que tu y es, là !

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 14-10-20 à 18:01

3°)

\forall x \in \mathbb{R}~,n-x\neq n \iff -x\neq 0 \\ \iff x\neq 0 \\ \iff n+x \neq n \\ \\ f(n-x)=\dfrac{n(n-x)-1}{n-x-n}=-\dfrac{n²-nx-1}{x} \\ \\ f(n+x)=\dfrac{n(n+x)-1}{n+x-n}=\dfrac{n²+nx-1}{x} \\ \\ f(n+x)+f(n-x)=\dfrac{n²+nx-1}{x}-\dfrac{n²-nx-1}{x} \\ \\ f(n+x)+f(n-x)=\dfrac{n²+nx-1-n²+nx+1}{x} \\ \\ f(n+x)+f(n-x)=\dfrac{2nx}{x} \\ \\ f(n+x)+f(n-x)=2n

Donc I_n(n ; n) est centre de symétrie de Cn.

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 16-10-20 à 21:58

Alors c'est bon?

Posté par
azerti75re : Étude de fonction avec paramètre 16-10-20 à 23:11

Bonsoir,

L'énoncé ce ne serait pas plutôt ?

Samsco @ 04-10-2020 à 19:48



1°) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ - {1} , (Cn) passe par 2 point fixes I(xI , yI) et J ( xJ ; yJ)à déterminer.

.

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 16-10-20 à 23:12

Malheureusement non !

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 17-10-20 à 09:36

ton centre de symétrie me semble OK

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 17-10-20 à 09:49

D'accord , merci !

Posté par
carpediemre : Étude de fonction avec paramètre 17-10-20 à 13:12

salut

Samsco @ 04-10-2020 à 20:36

J'aimerais bien connaître le maximum de méthodes possibles.
et
Samsco @ 04-10-2020 à 21:00

Quelle autre méthode je peux utiliser ?

sans te proposer réellement autre chose mais quelques remarques :

f_n (x) = \dfrac {nx - 1} {x - n}

en regardant simplement cette expression de f on voit "immédiatement" que f(1) = -1 et f(-1) = 1

et puisque l'énoncé nous annonce deux points fixes c'est plié ...


pour en revenir à l'autre méthode : n(x + y) - yx - 1 = 0 \iff (x - n)(y - n) = 1 - n^2 = (1 - n)(1 + n)

malou @ 06-10-2020 à 08:36

ceci tu dois le considérer comme un polynôme en n qui doit donc être ce qu'on appelle identiquement nul
dit autrement, pour toute valeur de n, il doit prendre la valeur 0
et cela ne peut se réaliser que lorsque tous ses coefficients sont nuls simultanément
dit autrement cette égalité doit être vraie pour tout entier n : ceci est donc le cas si et seulement si (x, y) = (1, -1) ou (x, y) = (-1, 1)


pour le point fixe : puisqu'on a deux point fixes on peut immédiatement en déduire qu'il appartient à la médiatrice du segments formé par les deux points fixes ...

d'autre part f_n(x) = n - \dfrac {1 - n^2} {x - n}

le centre de symétrie est donc l'intersection des droites d'équation x = n valeur interdite et y = n valeur jamais atteinte (car n <> 1 donc la fraction n'est jamais nulle)

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 17-10-20 à 21:05

carpediem @ 17-10-2020 à 13:12

pour en revenir à l'autre méthode : n(x + y) - yx - 1 = 0 \iff {\blue{(x - n)(y - n) = 1 - n^2 }}= (1 - n)(1 + n)



Je n'ai pas compris ce qui est en bleu

Posté par
carpediemre : Étude de fonction avec paramètre 18-10-20 à 09:56

ben tu développes et tu vérifies qu'on retrouve bien la premières étape ...

Posté par
Samscore : Étude de fonction avec paramètre 18-10-20 à 21:04

  D'accord , j'ai compris.


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