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Etude de fonction {type bac}
Bonjour,
J'ai un exercice de mathematiques a faire, type bac, et je n'arrive pas vraiment a le faire,
voici l'exercice:
Soit ABCD un rectangle. Pour tout point M de la droite(AB), disctinct de B, la droite (CM) coupe la droite (AD) en N. On appelle I le milieu du segment [MN].
L'objet du probleme est d'etudier le lieu geometrique C du point I, c'est-a-dire l'ensemble des positions de I lorsque M decrit la droite (AB).
On considere le repere orthogonal (A,AB,AD) et on appelle t l'abscisse de M.
1) Determiner les coordonnees du point I en fonction de t.
2) En deduire que C est la courbe d'equation:
y=x/(2x-1)
3) Soit f la fonction definie sur 
/{1/2} par:
f(x)= x/(2x-1)
a) Determiner 2 reels a et b tels que:
pout tout reel x different de 1/2, f(x)= a+(b/(2x-1))
b) En deduire les variations de la fonction f sur chacun des intervalles:
]-
;1/2[ et ]1/2; +[
4) Tracer la courbe C et demontrer qu'elle possede un centre de symetrie que l'on precisera.
Merci a toute personne qui pourra m'aider a faire cet exercice.
Bonjour,
pour avoir les coordonnées de I , il faut celles de N et M car :
xI=(xM+xN)/2 et idem pour yI.
M(t;0)
Pour les coordonnées de N , il nous faut l'équa de la droite (CM) qui passe par :
M(t;0) et C(1;1).
(CM) a une équa de la forme : y=ax+b avec a=(yC-yM)/(xC-xM)=....
Ensuite, pour trouver "b" , tu écris qu'elle passe par M ( ou C , au choix) avec M(t;0) :
0=a*t+b-->tu as trouvé "a". Donc tu trouves "b" .
Et "b" est justement l'ordonnée de N.
A la fin, tu as : N(0;t/(1-t))
Donc I(t/2;t/[2(t-1)])
Donc pour I : y=t/[2(t-1)]--->L1
et x=t/2 , ce qui donne : t=2x que l'on reporte en L1 :
y=2x/2(2x-1)
Donc pour les coordonnées de I :
y=x/(2x-1)
J'envoie.
FAUTE DE FRAPPE :
A la place de :
A la fin, tu as : N(0;t/(1-t))
lire :
A la fin, tu as : N(0;t/(t-1))
3)
a)
Tu réduis au même déno : f(x)=a + b/(2x-1)
et tu trouves par identification avec :
f(x)= x/(2x-1)
f(x)=1/2 + 1/[2(2x-1)]
La fonction u(x)=2(2x-1) qui s'écrit : u(x)=4x-2 est croissante car fct affine dont le coeff de x est > 0.
La fct v=1/x est décroissante sur x]-;0[ U ]0;+[
mais le 0 de v est le x qui annule u(x). Or u(x)=0 pour 2x-1=0 soit x=1/2.
Les fcts u et v varient en sens contraire donc leur composée f est décroissante. Le fait d'ajouter une constante 1/2 ne change pas la variation.
Donc f(x) décroît pour l'intervalle donné.
4) Tu appliques:
Le point A(a;b) est centre de symétrie pour la courbe Cf si, et seulement si :
pour tout réel h, si (a+h) € Df, alors (a-h) € Df et :
[f(a+h)+f(a-h)]/2=b ou f(a+h)+f(a-h)=2b
(Df est l'intervalle de définition).
Le centre de sym que tu vois sur ton tracé est le point (1/2;1/2).
....sauf inattentions....
A+
Merci beaucoup de m'avoir repondu,
j'ai juste un point que je n'arrive pas a eclaircir,
c'est lorsque l'ordonnee de N est t/(t-1),
pourquoi n'est-ce pas t/(1-t) puisque la formule est (yC-yM)/(xC-xM) et (xC-xM)= 1-t ?
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