***Bonjour***

Ton énoncé est incomplet ; est ce que f est définie sur R, sur Q (l'ensemble des rationnels), sur autre chose ? Cherches-tu seulement les fonctions continues ? La méthode de résolution de ton exo est drastiquement différente selon l'ensemble de définition des fonctions que tu cherches.

A priori, je suppose que tu cherches les fonctions de R dans R continues qui vérifient tes équations fonctionnelles (c'est l'exo le plus classique). Si c'est le cas, connais-tu les solutions de l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) pour f de R dans R continue ? C'est pas trop dur de trouver les solutions de tes équations à partir de celles-ci.

Rectification, dans la deuxième question f serait définie de R+* dans R.

salut

sans même parler d'ensemble de définition on peut toujours trouver des propriétés sur les images de certains réels "en supposant qu'elles existent" ...

puis restreindre éventuellement l'ensemble de définition si nécessaire ...

Mais si on restreint l'ensemble d'arrivée, par exemple si on veut que les images soient toutes rationnelles, on ne peut pas utiliser la méthode classique qui permet de résoudre ces équations fonctionnelles de R dans R, donc difficile de faire quoi que ce soit sans précisions

à un moment il faudra certainement faire des choix :

décider que ... et partir dans telle direction ou décider que ... et partir dans telle autre direction

ainsi pour la deuxième relation f(xy) = f(x) + f(y)

si f est définie en 0 alors f(0) = 0
si f est définie en 1 alors f(1) = 0

ensuite on en déduit que f(1) = f(x * 1/x) = f(x) + f(1/x) (pour x non nul) <=> f(1/x) = -f(x)

une solution définie sur R est la fonction constante nulle ...

on "sait" bien que la fonction inverse intervient pour cette relation et on peut décider de ne pas prendre 0 et pour conserver un ensemble de définition qui soit un intervalle (toujours plus sympa)  considérer ]-oo, 0[ ou ]0, +oo[ ... ces deux intervalles étant stables par la fonction inverse ...

donc à un moment on fait des choix pour continuer à avancer dans telle ou telle autre direction ...

mais bien sûr en faisant tel choix ou tel choix ben on perd forcément autre chose ...

Rebonjour,

Je n'avais pas vu qu'il y'avait des conditions, je vous écris l'énoncé dans son intégralité :

1. Déterminer les fonctions définies sur R et dérivables sur R telle que f(x+y)=f(x)f(y).
Quelle est la fonction dérivée de f ?

Conditions : f(0)=1 , f'(0)=1

(Je suis presque sur que c'est l'exponentielle)

2. Déterminer les fonctions définies et dérivables sur ]0;+inf[ telles que f(x*y)=f(x)+f(y).
Quelle est la fonction dérivée de g ?

Conditions : g(1)=0 et g'(1)=1

(Je suis presque sur que c'est la réciproque de f, la fonction logartihme népérien).

Autre question hors-exo)

Si est bijective et admet une fonction réciproque, alors je sais que l'on note .
Mais je me demandais si cette notation correspond à : .

Ton intuition est bonne ; pour la première question, je te propose de montrer que est forcément strictement positive, puis d'introduire la fonction . Montrer que est la fonction exponentielle revient à montrer que est l'identité. Regarde quelle équation fonctionnelle tu obtiens sur et essaie de montrer que est forcément linéaire.

Pour la deuxième, l'idée est similaire. On  peut se ramener à la même équation fonctionnelle que celle portant sur en posant cette fois  .

Ensuite pour déterminer les dérivées des fonctions solutions, peut-être que tu peux utiliser ce que tu connais sur les fonctions exponentielle et logarithme, mais sinon c'est pas trop dur à retrouver en dérivant intelligemment les deux équations fonctionnelles.

Pour ta dernière question, non pas du tout ! Il faut faire attention à ça, ces notations peuvent souvent être ambiguës.  la réciproque d'une fonction bijective est l'unique fonction vérifiant pour tout ,  il n'y a aucune raison pour que   coïncide  avec  .

non pas du tout d'accord : on veut découvrir les fonctions exp et ln donc interdit d'introduire g = ln o f et h = exp o f et on peut s'en passer ...

les fonctions exp et ln on été introduites pour transformer une somme en produit et inversement ...

ce n'est qu'à la fin qu'on dira : ha oui c'est la fonction exp et c'est la fonction ln !!

Je suis pas sûr de bien saisir en quoi ce serait gênant de composer par log ou exp puisqu'il faut avoir défini log et exp pour pouvoir répondre à la question

En tout cas faudrait savoir quelle définition yns a de l'exponentielle et du log du coup.

Après je suis d'accord que si yns a comme définition de exp que c'est l'unique fonction de dérivée elle-même valant 1 en 0, et comme définition du log que c'est l'unique primitive de la fonction inverse valant 0 en 1, c'est plus simple de directement chercher à montrer ces propriétés.

pas du tout ces deux questions sont des introductions de découverte à ces fonctions exp et ln et ne nécessite nullement de les connaitre ... puisqu'il faut les découvrir !!!

et c'est seulement à la fin qu'on dit que : "on note exp et ln les uniques fonctions telles que ..."

Carpediem a raison

Il faut découvrir les fonctions exp et ln

Je suis encore en 1ère
C'est en terminale qu'on découvre ln

Cet exercice fait partie de la fiche "Dérivation". (On avait pas encore étudié la fonction exponentielle).

Concernant ma question hors sujet sur la réciproque d'une fonction:



Mais on dit que la fonction inverse est sa propre réciproque...  pourquoi?
Je pourrais avoir une explication rapide ?

Concernant l'exercice :
On a tous les éléments, maintenant il me faut une piste

Dans ce cas je ne comprends pas ce que veut dire le "déterminer" de l'exo personellement. Il s'agit juste de montrer qu'une telle fonction est forcément unique ?

Pour ta question sur la fonction inverse, elle est en effet bijective de réciproque elle-même puisque pour tout ,

skywear : non il s'agit de montrer qu'une fonction définie et dérivable sur R et vérifiant la propriété f(x + y) = f(x)f(y) vérifie toutes les propriétés de l'exponentielle

la condition f(0) = 1 permet seulement d'imposer qu'elle soit positive et de ne pas tenir compte de la solution évidente : la fonction constante nulle

la condition f'0) = 1 n'est pas nécessaire ... elle sert simplement à ne pas considérer les fonctions exponentielles de base a réel positif ...

plus précisément on sait à postériori que f'(0) = k conduit à la fonction pour un certain réel a ...


dans les structures algébriques (que tu verras plus tard) l'expression désigne l'opposé pour la loi multiplicative mais on dit plutôt inverse et opposé est réservé à la loi additive ...

par extension désigne l'inverse dans les structures de groupe

désigne l'inverse de f pour l'opération de composition des fonctions

Donc,

1)

f(0)=1
f'(1)=1

(f(x+y))'=f'(x+y) (?)
(f(x)f(y))'=f'(x)f(y)+f'(y)f(x)

Je suis sur la bonne voie

(Bancal)

*je suis sur la bonne voie ?

(c'était une question, j'avais oublié le point d'interrogation)

on ne part que de la relation f(x + y) = f(x)f(y)

que peux-tu en déduire pour f(0) ?
conclusion ?

quelle relation entre f(x) et f(-x) ?

ensuite pour dériver il faudrait savoir quelle est la variable ...

Pour f(0), x ou y est nul

Et pour une fonction exponentielle de base a, f(x)f(-x)=1
En effet,

tu n'as pas compris le sens de l'exo !!!

i faut oublier ce que tu sais déjà et retrouver tous ces résultats !!!

Oui mais je suis perdu car aucune piste...

carpediem, qu'est-ce que tu entends par toutes les propriétés de l'exponentielle ? Quand considère-t-on qu'on a répondu à la question ? Dit comme ça je trouve l'énoncé très bancal, surtout si on est pas censé connaître la fonction exponentielle donc ses "propriétés" non plus

Où sommes nous ?

Je suis ici pour de l'aide pas pour un débat concernant un énoncé.

ENONCÉ :

1. Déterminer les fonctions définies sur R et dérivables sur R telle que f(x+y)=f(x)f(y).
Quelle est la fonction dérivée de f ?

Conditions : f(0)=1 , f'(0)=1


2. Déterminer les fonctions définies et dérivables sur ]0;+inf[ telles que f(x*y)=f(x)+f(y).
Quelle est la fonction dérivée de g ?

Conditions : g(1)=0 et g'(1)=1

Perso je peux pas t'aider si je comprends pas l'énoncé.

alors voila le programme en détail : une première approche est de partir de ce qui est en bleu mais ici le pb consiste à partir de ce qui est en rouge en bas et de retrouver l'ensemble des propriétés de f

la troisième propriété est le point de départ du pb donc n'a pas à être démontrée ((axiome de) définition de f)

Situation du problème :       Parmi les fonctions dérivables connues aucune n'est égale à sa dérivée.

Question : existe-t-il une fonction égale à sa dérivée sur ℝ ?

Soit f une fonction égale à sa dérivée ; quelle relation vérifie f ?

REM : une telle relation est appelée une équation différentielle : l'inconnue est une fonction.

Supposons qu'il existe une fonction f égale à sa dérivée sur ℝ et telle que f(0) = 1.

Premières propriétés : Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = f(-x)f(x).

a) Montrer que g'(x) = 0 pour tout réel x.
b) En déduire la fonction g.
c) En déduire que f ne s'annule pas et est positive.
d) En déduire l'expression de f(-x) en fonction de x.

Troisième propriété : Soit a un réel et h la fonction définie sur ℝ par   .
a) Montrer que h'(x) = 0.
b) En déduire la fonction h.
c) Quelle propriété vérifie f ?

Quatrième propriété : Montrer que pour tous réels x et y :  

Cinquième propriété : Montrer que pour tout entier relatif n :

Sixième propriété : Déterminer le sens de variation de f.

Septième propriété : Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.

On décide de partir maintenant du problème suivant :
Déterminer les fonctions f définies et dérivables sur ℝ telles que pour tous réels x et y :
f(x + y) = f(x)f(y).

Montrer que si f s'annule en un réel a alors f est identiquement nulle.

On suppose que f ne s'annule pas sur ℝ.

Montrer que f(0) = 1.
Montrer que f est strictement positive.
Retrouver les autres propriétés de f.
Montrer que pour tout entier n : f(n) = [f(1)]ⁿ.

Merci carpediem, je comprends mieux l'idée maintenant

D'accord carpediem je travaille sir ce que tu me dis

Bonjour
juste une petite précision en passant :

carpediem @ 27-06-2020 à 15:57


dans les structures algébriques (que tu verras plus tard) l'expression désigne l'opposé le symétrique de x pour la loi multiplicative mais on dit plutôt inverse et opposé est réservé à la loi additive ...

par extension désigne l'inverse le symétrique dans les structures de groupe

désigne l'inverse le symétrique de f pour l'opération de composition des fonctions; on parle dans ce cas de "réciproque"

ha oui bien vu lafol ... merci