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Etude de fonctions
Bonjour l'île des mathématiques !
Je bloque sur cette question :
Qu'est ce que l'on peut dire concernant les symétries du graphe d'une fonction vérifiant f(4−x) = f(x) ? Même question si f(4−x) = −f(x).
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J'appelle Cf et Cg les courbes représentatives de deux fonctions f et g définies sur un intervalle I commun, dans un plan muni d'un repère orthonormé. (R^2)
On a : f(x)=f(4-x)=f(-x+4).
Si x est nul alors f(4)=f(0).
Après si on 2 fonctions f et g définies sur I, avec f(-x)=g(x) alors Cf et Cg sont symétriques dans R^2 par rapport à la droite d'équation x=0.
De manière analogue, si on a f et g définies sur I telle ques f(x-K)=g(x) alors il y'a un "déplacement horizontal". Si K>0, Cg est l'image de Cf par la translation de vecteur K
. Si K=0, Cf et Cg sont confondues. Maintenant, si K<0, Cg est l'image de Cf par la transation de vecteur -K.
Posons g(x)=f(x).
Alors f est périodique ?
Merci d'avance
non, f(4−x) = f(x) ça donne f(2+y) = f(2-y)
Qu'est-ce que ça t'inspire ? quelque soit le nombre y que l'on ajoute à 2, les ordonnées des points de la courbe sont égales.
Bonjour,
J'essaye de comprendre énoncé et indications 
1) Qu'est ce que l'on peut dire concernant les symétries du graphe d'une fonction vérifiant f(4−x) = f(x) ?
2) Même question si f(4−x) = −f(x).
J'ai l'impression que yns91 traite 1) et 2) à la fois.
On peut poser t = 2 - x
(je préfère
t
à
y
qui évoque une ordonnée).
Dans 1), f(4−x) = f(x) se traduit par f(2+t) = f(2-t).
Quelle traduction géométrique pour les points M et N de la courbe Cf d'abscisses 2+t et 2-t ?
ouais les énoncés sont de plus en plus mer... catastrophiques ... et de plus en plus souvent de la part des enseignants ... qui ne savent plus écrire le français !!!
en bon français il suffit de dire : que peut-on dire de la courbe d'une fonction f vérifiant pour tout réel x la relations f(4 - x) = f(x) ? idem avec la relation f(4 - x) = -f(x)
yns91 :quand on donne l'indication poser x = 2 - y on a effectivement envie de remplacer dans la relation f(4 - x) = f(x) ....
encore faut-il le faire sans précipitation ...
RAP: (x, f(x)) sont les coordonnées d'un point M de la courbe de f donc les coordonnées du vecteur ... ?
Dans 1), f(4−x) = f(x) se traduit par f(2+t) = f(2-t).
Comment sont les points H et K de l'axe des abscisses qui vérifient xH = 2+t et xK = 2-t ?
Puis, déjà demandé :
Quelle traduction géométrique pour les points M et N de la courbe Cf d'abscisses 2+t et 2-t ?
----------×----------×----------×------------> x
2-t 2 2+t
2-t et 2+t symétriques par rapport à 2.
On a |(2-t)-(2+t)|=|(2+t)-(2-t)|
La distance entre 2-t et 2 est égale à la distance entre 2 et 2+t
|x-2|<=t est la zone rouge (si l'affichage est correct)
Plus précis pour répondre à ma question :
Soit A(2 ; 0), H(2-t ; 0) et K(2+t ; 0), alors les points H et K sont symétriques par rapport au point A.
C'est considéré comme évident.
Mais si tu veux le démontrer, il suffit de vérifier que le milieu de [HK] a les mêmes coordonnées que le point A.
Maintenant, les points M et N ?
Oui mais j'ai pas compris la raison pour laquelle on utilise 2-t et 2+t alors que dans l'énoncé il est question de : f(4−x) = f(x)
Sous la forme f(2-t) =f(2+t) on voit mieux la symétrie par rapport à la droite x=2
et puis f(4−x) = f(x) est équivalent à f(2-t) =f(2+t) si on pose x = 2-t
les règles classiques à se rappeler c'est :
- x = a est l'axe de symétrie de la courbe (C) d'équation y = f(x) si pour tout x tel que a + x et a - x soient dans le domaine de définition de la fonction, on ait f(a - x) = f(a + x) donc on s'est ramené à cette forme la.
et
- A(a;b) est le centre de symétrie de la courbe (C) : y = f(x) si pour tout x tel que a + x et a - x soient dans le domaine de définition de la fonction, on ait f(a - x) + f(a + x) = 2b
et ça peut te servir pour la question suivante.
remarquer aussi que
où l'on voit ce centre 2 ... 
puisque ces deux quantités f(4 - x) et f(x) sont égales dans l'écriture lorsque x = 2
pour toute autre valeur de x l'écriture de f(4 - x) et de f(x) n'est pas la même ...
Oui mais j'ai pas compris la raison pour laquelle on utilise 2-t et 2+t alors que dans l'énoncé il est question de : f(4−x) = f(x)
sur geogebra je t'invite à tracer une fonction quelconque f(x) = ... puis la fonction g définie par g(x) = f(4 - x) et regarder ce qui se passe ...
Oui mais j'ai pas compris la raison pour laquelle on utilise 2-t et 2+t alors que dans l'énoncé il est question de : f(4−x) = f(x)
Si tu l'avais fait, tu aurais vu pourquoi le réel 2 jouait un rôle important ( pour ne pas dire central
).Bonjour à tous , vos explications me plaisent beaucoup, avec le petit yns91.
Il me vient à l'esprit la phrase suivante: "Bon alors tu vas comprendre ? on en a marre que tu ne comprennes pas !"...
Ah ! Ah ! Les abeilles ne te piquent pas trop, yns91 ?
Sans rancune, je plaisantais
Bon travail pour tout le monde !
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